Existencia de la función que explota en un conjunto nulo

Question

Permita que$m$ denote la medida de Lebesgue en$\mathbb{R}^d$. Demuestre que para cualquier conjunto$E$ con$m(E)=0$, hay una función integrable no negativa$f$ tal que $$ \ liminf_ {m (B) \ a 0} \ frac {1} {m (B)} \ int_B f (y) \ dy = \ infty $$ para cada$x\in E$, donde el infimo se toma sobre todas las bolas$B$ que contiene$x$.

Answer 1

Tengo la siguiente idea. Basta con considerar el caso cuando$E$ es un$G_\delta$ - conjunto. Deje$E=\bigcap_{n\in\omega} U_n$ ser una intersección de una secuencia de conjuntos abiertos no crecientes tales como$U_0=\mathbb R^d$ y$m(U_n)\le 1/4^n$ para cada$n\ge 1$. Defina$f: \mathbb R^d\to\mathbb R^+$ poniendo$f|U_0\setminus U_1\equiv 0$ y$f|U_n\setminus U_{n+1}\equiv 2^n$ para cada$n\ge 1$.