Demostración de la desigualdad de Holder mediante la desigualdad de Jensen

Question

Dejemos que $p$ y $q$ sean reales positivos tales que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1$ para que $p,q$ en $(1,\infty)$ .

Para $\vec a$ y $\vec b \in \mathbb{R}^2$ demostrar que $|\vec a \cdot \vec b | \leq ||\vec a||_p|| \vec b||_q$ .

Se publicó una pista para utilizar la desigualdad de Jensen para utilizar $\phi(x) = ln(1 + e^x)$ . Pero no sé cómo lo haría.

Answer 1

Es fácil pasar de Jensen a Young a Holder. Sin embargo, si usted realmente quiere hacer directamente, tenga en cuenta que es suficiente para mostrar: $$ \sum_{k=1}^n \lvert a_k \rvert \lvert b_k \rvert \le \left(\sum_{k=1}^n \lvert a_k \rvert^p \right)^{\frac1p}\left(\sum_{k=1}^n \lvert b_k \rvert^q \right)^{\frac1q} \tag{1}$$ para $\lvert a_k \rvert > 0$ (¿por qué?).

Como $x^q$ es convexo en $(0, \infty)$ por la desigualdad de Jensen tenemos $\displaystyle \left(\sum_{k=1}^n w_k x_k\right)^q \le \sum_{k=1}^n w_k x_k^q$ para $x_k, w_k >0$ y $\sum_k w_k = 1$ .

Utilizando $w_k = \dfrac{|a_k|^p}{\sum_k |a_k|^p}$ y $x_k = \dfrac{|a_k||b_k|}{w_k}$ en la forma anterior de la desigualdad de Jensen, podemos obtener $(1)$ .

Answer 2

Queremos demostrar que $$ a_1b_1 + a_2b_2 \le (a_1^p+a_2^p)^{1/p} (b_1^q+b_2^q)^{1/q} $$ En primer lugar, observe que la desigualdad es homogénea en ambos $(a_1,a_2)$ y $(b_1,b_2)$ por separado. Así, podemos escalar ambas para reducir a la mitad el número de variables implicadas: dividiendo ambos lados por $a_1b_1$ obtenemos $$ 1 + \frac{a_2}{a_1}\cdot\frac{b_2}{b_1} \le \Bigl(1+\Bigl(\frac{a_2}{a_1}\Bigr)^p\Bigr)^{1/p} \Bigl(1+\Bigl(\frac{b_2}{b_1}\Bigr)^q\Bigr)^{1/q} $$ Escriba $u=a_2/a_1$ y $v=b_2/b_1$ ; a continuación, queremos mostrar $$ 1 + uv \le (1+u^p)^{1/p} (1+v^q)^{1/q} $$ Tomando logaritmos, obtenemos el equivalente $$ \ln(1+uv) \le \frac1p \ln(1+u^p) + \frac1q \ln (1+v^q) $$ Escribir $x=p\ln u$ y $y=q\ln v$ Esto equivale a $$ \ln(1+e^{x/p+y/q}) \le \frac1p \ln(1+e^x) + \frac1q \ln (1+e^y) $$ que afirma la convexidad de $x\mapsto\ln(1+e^x)$ . Entonces, comprueba la segunda derivada y ya está.

(Este argumento se generaliza para dar la desigualdad en esta pregunta que era la pregunta A2 en el Putnam de 2003; véase Archivo de Kedlaya para esa solución y otras buenas).

Answer 3

Aquí está la primera prueba de una versión más fácil: Nota $\phi(x) = -\log x $ es convexo, en $x > 0,$ y por lo tanto la convexidad (= Jensen) da como resultado $$ -\log(tx + (1-t)y) \leq -t\log x - (1-t)\log y, $$ dejar $x = u^p, y = v^q,$ y $t = 1/p,$ donde $u,v > 0.$ Entonces se consigue fácilmente, $$ uv \leq \frac{u^p}{p} + \frac{v^q}{q}. $$

Ahora bien, si $\|a\|_p = \|b\|_q = 1,$ entonces vemos $$ |\sum_{i=1}^n a_i b_i| \leq \sum_{i=1}^n |a_i||b_i| \leq \sum_{i=1}^n \frac{|a_i|^p}{p} + \sum_{i=1}^n \frac{|b_i|^q}{q} = 1. $$ Para los vectores generales, basta con normalizar.