Área más pequeña del polígono con$n$ lados de longitud$1$

Question

Dado un número impar $n$, considerar todos los polígonos no-uno mismo-intersección con los lados de $n$, de longitud $1$. ¿Qué es el infimum de sus áreas? Nos podemos acercar a $\sqrt 3/4$ por aproximación de un triángulo equilátero de lado $1$, como esta:

¿Podemos hacer mejor?

Answer 1

Uno no puede hacer mejor. Voy corto de una prueba, pero la siguiente es el esqueleto de una prueba.

Idea: de forma recursiva cortar el polígono en los polígonos de tener todos los lados, excepto un lado, de la longitud de la $x \leq 1$, lo que muestra que el área mínima de las piezas, es una función de $x$. Esto se traduce en una serie de pequeños problemas geométricos.

Definiciones

Para $0 \leq x \leq 1$, vamos a un "extraño-$x$-poly" ser un no-auto-intersección de polígonos con un número impar de lados, donde todos lados, excepto uno tiene unidad de longitud. El otro lado tiene una longitud de $x$.

Para $0 \leq x \leq 1$, vamos un "$x$-poly" ser un no-auto-intersección de polígonos con un número par de lados, donde todos lados, excepto uno tiene unidad de longitud. El otro lado tiene una longitud de $x$.

Inducción

Por inducción vamos a construir las pruebas de

$O_n$ : El área de un $n$cara extraña-$x$-poli es, al menos, ${x \over 2} \sqrt {1 - {x ^2 \over 4}}$

$E_n$ : El área de un $n$cara incluso-$x$-poli es, al menos, ${1 - x \over 2} \sqrt{1 - {{(1-x)^2} \over 4}}$

$O_3$ está demostrado trivial teniendo en cuenta la fórmula del área del triángulo isósceles.

$E_4$ está probado en [...] (figura 2).

Consideremos un $n$cara extraña-$x$-poli $p$.

Hay tres casos:

1. No hay vértices o aristas de p en el triángulo creado por el ag y dos de la unidad lados. Figura 4.

   En este caso, esta área sin vértices es ya lo suficientemente grande para satisfacer $O_n$.

2. Un vértice está presente, digamos, $d$. Figura 1

   En este caso, el área de $p$ es bien:

   • el área de un $l$cara incluso-$y$-de poli ($abcd$) además de la zona de otro $m$cara incluso-$z$-de poli ($defg$), donde $y+z > x$, además de la zona de $adg$. Figura 1. $O_n$ es verdad [...] ( Alguna prueba que falta el uso de la geometría y de la $E_{i}, i<n$. )

   • el área de un $l$cara extraña-$y$-de poli ($abc$) además de la zona de otro $m$cara extraña-$z$-de poli ($cde$), donde $y+z > x$, además de la zona de $ace$. Figura 3. $O_n$ es verdad [...] ( Alguna prueba que falta el uso de la geometría y de la $O_{i}, i<n$. )

En ambos casos, debería ser posible demostrar $O_n$,$O_x$$E_y$,$x<n, y<n$.

3. Un borde pasa por el triángulo creado por el ag y dos de la unidad lados. (Figura 5). Dado lo $c, d$ debe estar a una distancia de al menos 1 de $a, b$, una construcción que muestra $O_n$ es posible, dado $O_i$$O_j$,$i<n, j<n$.

Consideremos un $n$cara incluso-$x$-poli $p$. Construcción Similar, como en el anterior, la falta, la conmutación de pares y los impares sub-polígonos.

Muy interesante problema, pero he utilizado el tiempo que tenía para poner hacia ella. Lo siento por las partes que faltan.

Finalmente, una vez que la falta de bits en la prueba se agregan, se puede observar que el polígono descrito en el problema está en que incluso-$x$-poli con $x=1$. Así nos encontramos con la especificada mínima área.

Answer 2

No, No se puede hacer mejor.

Considere la posibilidad de un polígono $P_0$ $n$ impar, bordes o longitud de 1. Podemos repetidamente construcción $P_l$ con el mismo número de unidad de los bordes, de modo que $area(P_{l+1}) \leq area (P_l)$. Hasta $area(P_{n-1 \over 2})$$\sqrt(3) \over 4$.

Como tal, $area(P_0) \geq {\sqrt(3) \over 4}$. La construcción de la siguiente manera.

De $P_l$, tomar 5 días de esquinas, la etiqueta 1,2,3,4,5. Observar que mediante la fusión (que se mueve arbitrariamente cerca) esquinas 2 y 4, podemos crear una astilla $(2,3,4)$, se reduce el área cubierta por $(1,2,4,5)$ y mantenemos constante el resto de la zona. Esto nos da $P_{l+1}$. Moviéndose hacia adelante, consideramos 2 y 4 como una sola esquina, y el desprecio de 5.

Repitiendo este proceso, que siempre terminan con un triángulo equilátero y un número de astillas de área de casi 0. Y sabemos que el polígono original tenía más grande de la zona.

Dos desaparecid @ s en este reasonning que podemos elaborar en:

• Mostrando que la superposición no es un problema. Que podamos necesitar para generalizar a una definición de la zona que cuenta doblemente el área de superposición, de modo que 2 y 4 pueden ser "fusionado". Al final del proceso, sin embargo, cualquier superposición se ha ido. Sólo necesitamos una definición de área que disminuye a medida que nos simplificar el polígono.
• Mostrando que la fusión de las esquinas 2 y 4 siempre reducir el área. Es bastante evidente, pero no me escribas la matemática.