Demostrar que $x_1^2+x_2^2+x_3^2=1$ $ \sum_{i=1}^{3}\frac{x_i}{1+x_i^2} \le \frac{3\sqrt{3}}{4} $ los rendimientos

Question

Probar esta desigualdad, si $x_1^2+x_2^2+x_3^2=1$: $$ \sum_{i=1}^{3}\frac{x_i}{1+x_i^2} \le \frac{3\sqrt{3}}{4} $ $

Hasta ahora llegué a $x_1^4+x_2^4+x_3^4\ge\frac{1}3$ utilizando QM-AM $(2x_1^2+x_2^2, 2x_2^2+x_3^2, 2x_3^2+x_1^2)$, pero para ser sincero que no estoy seguro si eso es útil en todos.

(Puede "cambiar el nombre de" los $x,y,z$ para facilitar la escritura): $$ \frac{x}{1+x^2}+\frac{y}{1+y^2}+\frac{z}{1+z^2} \le \frac{3\sqrt3}4$ $

Answer 1

Asumir que $x_i\geq 0$ y que $\theta_i\in \left(0,\frac{\pi}2\right)$ sucht que $x_i=\tan\frac{\theta_i}2$. $\sin(\theta_i)=\frac{2x_i}{1+x_i^2}$ Y desde $\sin$en cóncavo en $\left(0,\frac{\pi}2\right)$ %, $$\sum_{i=1}^3\frac{x_i}{1+x_i^2}=\frac 32\sum_{i=1}^3\frac 13\sin(\theta_i)\leq \frac 32\sin\frac{\theta_1+\theta_2+\theta_3}3.$ $ que tenemos, usando el convextiy $x\mapsto \tan^2 x$: $$\frac 13=\frac 13\sum_{i=1}^3\tan^2\frac{\theta_i}2\geq \tan^2\frac{\theta_1+\theta_2+\theta_3}6,$de % $ % que $\tan\frac{\theta_1+\theta_2+\theta_3}6\leq \frac 1{\sqrt 3}$y $\frac{\theta_1+\theta_2+\theta_3}6\leq \frac{\pi}6$. Finalmente $$\sum_{i=1}^3\frac{x_i}{1+x_i^2}\leq \frac 32\sin \frac{\pi}3=\frac{3\sqrt 3}4,$ $ con igualdad si y solamente si $(x_1,x_2,x_3)=\left(\frac 1{\sqrt 3},\frac 1{\sqrt 3},\frac 1{\sqrt 3}\right)$.

Answer 2

Calcula la segunda derivada de la función auxiliar $$f(u)\ :=\ {\sqrt{u}\over 1+u}\qquad (u\geq0)$ $$f''(u)={3(u-1)^2 -4\over 4u^{3/2}(1+u)^3} \ <\ 0\qquad(0\leq u\leq 1)\ ;$ $ dónde es cóncava para $f$ $0\leq u\leq 1$. Poniendo el $u_i:=x_i^2$ por lo tanto tenemos %#% $ #% como afirma.

Answer 3

Otra solución. Por la desigualdad de AM-GM, tenemos $$ \frac {2 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}} \cdot x_i} {x_i 1 + ^ 2} \le \frac{\dfrac{1}{3} + x_i ^ 2} {1 + x_i ^ 2} = 1 - \frac{2/3}{1+x_i^2}, $$ $-1/(1+z)$ es una función cóncava de $z = x^2$,\begin{align} \frac{ \dfrac{2}{\sqrt{3}} x_i } {1+x_i^2} &\le \sum_{i=1}^3 \left[1 - \frac{2/3}{1+x_i^2}\right] \\ &\le 3 \left[1 - \frac{2/3}{1 + \dfrac{1}{3}\left(\sum_{i=1}^3 x_i^2\right) } \right] = \frac{3}{2}. \end {alinee el} multiplicando ambos lados por $\sqrt3/2$, obtenemos el resultado deseado.