Los números algebraicos aleatorios son linealmente disjuntos casi con seguridad.

Question

Es bien sabido que si se considera un polinomio mónico "aleatorio" de grado fijo grado, digamos $X^n+\sum_{k=0}^{n-1}a_kX^k$ donde $(a_0,a_1,\ldots, a_n)$ se extrae de la distribución uniforme discreta en $[-N,N]^{n+1}$ entonces este polinomio será irreducible y tendrá grupo de Galois $S_n$ "casi seguro", es decir, la probabilidad de este evento tiende a $1$ cuando $N\to \infty$ .

Ahora, supongamos que se consideran dos polinomios mónicos aleatorios $P=X^n+\sum_{k=0}^{n-1}a_kX^k$ y $Q=X^m+\sum_{k=0}^{n-1}b_kX^k$ donde $(a_0,a_1,\ldots, a_n,b_0,\ldots,b_m)$ se extrae de la distribución uniforme discreta en $[-N,N]^{n+m+2}$ . ¿Es también cierto que para cualquier raíz $\alpha$ de $P$ y cualquier raíz $\beta$ de $\mathbb Q$ , las extensiones ${\mathbb Q}(\alpha)$ y ${\mathbb Q}(\beta)$ serán linealmente disjuntos sobre $\mathbb Q$ ¿"casi seguro" en el sentido anterior?

Answer 1

Esta es una prueba cuando $m$ y $n$ son distintos. Como usted dice, "casi seguramente" los grupos de Galois de $P$ y $Q$ son $S_n$ y $S_m$ respectivamente. Supongamos sin pérdida que $m<n$ . Dejemos que $K$ sea el campo de división de $P(X)$ en $\mathbf{Q}$ . Entonces $K(\beta)/\mathbf{Q}(\beta)$ es de Galois, y su grupo de Galois es isomorfo al grupo de Galois de $K/L$ , donde $L:=K\cap\mathbf{Q}(\beta)$ . Pero como $$ [L:\mathbf{Q}]\le [\mathbf{Q}(\beta):\mathbf{Q}] = m < n, $$ vemos que el grupo de Galois ${\rm Gal}(K/L)$ es un subgrupo de ${\rm Gal}(K/\mathbf{Q})$ de índice inferior a $n$ . Desde ${\rm Gal}(K/\mathbf{Q})\cong S_n$ y $S_n$ no tiene subgrupos propios de índice inferior a $n$ se deduce que ${\rm Gal}(K/L)={\rm Gal}(K/\mathbf{Q})$ para que $L=\mathbf{Q}$ . Así, $$ [K(\beta):\mathbf{Q}(\beta)] = \#{\rm Gal}(K(\beta)/\mathbf{Q}(\beta)) = \#{\rm Gal}(K/L) = [K:L] = [K:\mathbf{Q}], $$ para que $$ [K(\beta):K] = \frac{[K(\beta):\mathbf{Q}]}{[K:\mathbf{Q}]} = \frac{[K(\beta):\mathbf{Q}(\beta)]\cdot [\mathbf{Q}(\beta):\mathbf{Q}]}{[K:\mathbf{Q}]} = [\mathbf{Q}(\beta):\mathbf{Q}] = m. $$ Por lo tanto, $[M(\beta):M]=m$ para cada campo $M$ con $\mathbf{Q}\subseteq M\subseteq K$ Así que, en particular, para $M=K(\alpha)$ encontramos que $[\mathbf{Q}(\alpha,\beta):\mathbf{Q}(\alpha)]=m$ lo que significa que $\mathbf{Q}(\alpha)$ y $\mathbf{Q}(\beta)$ son linealmente disjuntos sobre $\mathbf{Q}$ .

Si $m=n$ entonces este argumento demuestra el resultado a menos que $[L:\mathbf{Q}]=n$ . Dado que el único índice- $n$ subgrupos de $S_n$ son los $n$ estabilizadores de un punto (suponiendo $n\ne 6$ ), se deduce (para $n\ne 6$ ) que si $\mathbf{Q}(\alpha)$ y $\mathbf{Q}(\beta)$ no son linealmente disjuntos entonces $\mathbf{Q}(\alpha)$ y $\mathbf{Q}(\beta)$ son conjugados entre sí sobre $\mathbf{Q}$ . Es de suponer que hay argumentos rápidos para que esto "casi seguro" no ocurra.