Puntos fijos y series infinitas

Question

Considere la fórmula $1 + \frac{y}2$ . Tiene un punto fijo en $y = 2$ . Y si utilizamos la ecuación $y = 1 + \frac{y}2$ para sustituir a $y$ en nuestra fórmula, obtenemos $1 + \frac{1 + \frac{y}2}2$ o $1 + \frac12 + \frac{y}4$ . Si seguimos repitiendo obtenemos $1+\frac12 + \frac14 + \dots$ que es igual a nuestro punto fijo $2$ .

Pero consideremos ahora la fórmula $1+2y$ . Tiene un punto fijo en $y=-1$ . En este caso, si utilizamos la ecuación $y = 1+2y$ para sustituir a $y$ en nuestra fórmula, obtenemos $1+2(1+2y)$ o $1+2+4y$ . Si seguimos repitiendo obtenemos $1+2+4+\dots$ que no es igual a nuestro punto fijo $-1$ .

¿Puede alguien explicar de forma sencilla por qué este procedimiento funciona en el primer caso pero no en el segundo? ¿Funcionaría el procedimiento en todos los casos en que la serie generada convergiera?

Answer 1

Aparte del argumento que $1+2+4+\cdots$ podría ser igual a $-1$ Para responder a tu pregunta, hay dos clases de puntos fijos.

En punto fijo atractivo es un punto fijo en el que, dentro de un cierto rango, un punto introducido en la fórmula de forma recursiva acabará convergiendo al punto fijo. Tu primer ejemplo es un punto fijo atractivo.

Un punto fijo que no es atractivo no tiene puntos que converjan al punto fijo cuando se introduce en la fórmula recursivamente. Tu segundo ejemplo es un punto fijo no atractivo.

La propiedad de los puntos fijos atractivos es que la derivada (es decir, la pendiente) de la función de la fórmula tiene una magnitud menor que $1$ en el intervalo de puntos que converge al punto fijo:

$$|f'(x)|<1$$

donde $x_{n+1}=f(x_n)$ es la fórmula recursiva.

Véase este (punto fijo) y este (iteración en punto fijo) para obtener más información y una explicación más clara.