Demostrar o refutar una desigualdad con $0 \le a_1 \le a_2 \le \ldots \le a_n$

Question

Sea $n \in \mathbb{Z}_+$ sea $n \ge 3$ y $0 \le a_1 \le a_2 \le \ldots \le a_n$ . Demostrar o refutar una desigualdad:

$$\large \sqrt{a_1a_2} + \sqrt{a_2a_3} + \ldots + \sqrt{a_na_1} \ge \sqrt[3]{a_1a_2a_3} + \sqrt[3]{a_2a_3a_4} + \ldots + \sqrt[3]{a_na_1a_2}$$

Answer 1

No es una respuesta completa, pero espero que muestre por qué puede ser cierto. Supongamos que $a_i=a_i^6$ entonces nuestra desigualdad se convierte en $$g(n)=\sum _{i=1}^n \left(a_i^3 a_{i+1}^3-a_i^2 a_{i+1}^2 a_{i+2}^2\right)\geq0$$ donde los índices son cíclicos.

Supongamos que $n\leq6$ y hagamos la sustitución $a_i=x_1+...+x_i$ para cada $1\leq i\leq n$ . Simplificando (con Mathematica) se obtiene un polinomio con un solo coeficiente negativo, el anterior a $x_1^4 x_2 x_n$ y este coef es siempre $-1$ .

Si alguien consigue probar esto para todos $n$ puede ser suficiente para establecer la desigualdad.

Aquí está el $n=4$ polinomio de referencia. $$3 x_1^4 x_2^2+10 x_1^3 x_2^3+12 x_1^2 x_2^4+6 x_1 x_2^5+x_2^6+7 x_1^4 x_2 x_3+29 x_1^3 x_2^2 x_3+42 x_1^2 x_2^3 x_3+25 x_1 x_2^4 x_3+5 x_2^5 x_3+7 x_1^4 x_3^2+35 x_1^3 x_2 x_3^2+64 x_1^2 x_2^2 x_3^2+48 x_1 x_2^3 x_3^2+12 x_2^4 x_3^2+14 x_1^3 x_3^3+47 x_1^2 x_2 x_3^3+51 x_1 x_2^2 x_3^3+17 x_2^3 x_3^3+13 x_1^2 x_3^4+28 x_1 x_2 x_3^4+14 x_2^2 x_3^4+6 x_1 x_3^5+6 x_2 x_3^5+x_3^6-x_1^4 x_2 x_4+x_1^3 x_2^2 x_4+6 x_1^2 x_2^3 x_4+5 x_1 x_2^4 x_4+x_2^5 x_4+7 x_1^4 x_3 x_4+26 x_1^3 x_2 x_3 x_4+46 x_1^2 x_2^2 x_3 x_4+36 x_1 x_2^3 x_3 x_4+9 x_2^4 x_3 x_4+21 x_1^3 x_3^2 x_4+66 x_1^2 x_2 x_3^2 x_4+72 x_1 x_2^2 x_3^2 x_4+24 x_2^3 x_3^2 x_4+26 x_1^2 x_3^3 x_4+56 x_1 x_2 x_3^3 x_4+28 x_2^2 x_3^3 x_4+15 x_1 x_3^4 x_4+15 x_2 x_3^4 x_4+3 x_3^5 x_4+3 x_1^4 x_4^2+7 x_1^3 x_2 x_4^2+10 x_1^2 x_2^2 x_4^2+8 x_1 x_2^3 x_4^2+2 x_2^4 x_4^2+11 x_1^3 x_3 x_4^2+28 x_1^2 x_2 x_3 x_4^2+30 x_1 x_2^2 x_3 x_4^2+10 x_2^3 x_3 x_4^2+16 x_1^2 x_3^2 x_4^2+34 x_1 x_2 x_3^2 x_4^2+17 x_2^2 x_3^2 x_4^2+12 x_1 x_3^3 x_4^2+12 x_2 x_3^3 x_4^2+3 x_3^4 x_4^2+2 x_1^3 x_4^3+3 x_1^2 x_2 x_4^3+3 x_1 x_2^2 x_4^3+x_2^3 x_4^3+3 x_1^2 x_3 x_4^3+6 x_1 x_2 x_3 x_4^3+3 x_2^2 x_3 x_4^3+3 x_1 x_3^2 x_4^3+3 x_2 x_3^2 x_4^3+x_3^3 x_4^3$$