Determinante de matrices sin expandir

Question

Demuestre que $$ \begin{array}{|ccc|} -2a & a + b & c + a \\ a + b & -2b & b + c \\ c + a & c + b & -2c \end {array} = 4 (a + b) (b + c) (c + a) \ text {.} $$

Agregué todas las filas pero no pude conseguirlo.

Answer 1

Dejar $x=b+c,y=c+a,z=a+b$. Reclamamos que $$ \ left | \begin{pmatrix} x-y-z & z & y\\ z & y-z-x & x\\ y & x & z-x-y \end {pmatrix} \ right | = 4xyz. $$ Cuando$x=0$, agregue la columna 1 a las columnas 2 y 3 para obtener $$ \ left | \begin{pmatrix} -y-z & -y & -z\\ z & y & z\\ y & y & z \end {pmatrix} \ right | = 0. $$ Así, por simetría,$xyz$ divide el determinante. Establecer$x=y=z=1$ produce $$ \ left | \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & -1 \end {pmatrix} \ right | = \ left | \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 2\\ 1 & 2 & 0 \end {pmatrix} \ right | = 4. $$ Por lo tanto, el determinante es$4xyz$, ya que es de grado 3.

Answer 2

Podemos deducir, a partir de la estructura de la matriz que (a) el determinante será un polinomio simétrico en $a,b,c$ cada monomio con los no-cero coeficiente de tener grado $3$, y (b) que el coeficiente de $a^3$, $b^3$, y $c^3$$0$. Así $$ \det= k\(a^2 b+ a^2+ b^2+ b^2 c+ c^2+ c^2 b)+m\,abc $$ para algunas constantes $k,m$. Para encontrar $k,m$, sustituimos los valores de $(a,b,c)$ en la matriz.

• Cuando $a=0$, $b=1$, $c=1$ llegamos $8=\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 2 \\ 1 & 2 & -2 \\ \end{vmatrix}=\det=2k$, lo $k=4$.

• Cuando $a=1$, $b=-1$, $c=1$ llegamos $0=\begin{vmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \\ \end{vmatrix}=\det=4 \times 2-m$, lo $m=8$.

Así \begin{align*} \det &= 4(a^2 b+ a^2 c+ b^2 a+ b^2 c+ c^2 a+ c^2 b)+8abc \\ &= 4(a+b)(b+c)(c+a) \end{align*} como se desee.