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Question

Si un número complejo es un par de números reales, ¿por qué tenemos que introducir el nuevo símbolo$\mathbb{C}$ para complejos en lugar de usar$\mathbb{R}^{2}$? ¿Cuáles son las diferencias sutiles involucradas?

Answer 1

Como usted sugerencia, los dos espacios son isomorfos como (real) espacios vectoriales. La diferencia es que cuando escribimos $\mathbb{C}$, nos referimos a la subyacente espacio junto con la estructura algebraica que hace que $\mathbb{C}$ un campo; más allá de lo dispuesto por el real subyacente estructura de espacio vectorial, esto significa que tenemos una multiplicación mapa de $\mathbb{C} \times \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ e inversa mapa de $\mathbb{C} - \{0\} \to \mathbb{C} - \{0\}$ que satisfacer diversas propiedades, como por ejemplo, conmutatividad y asociatividad de la multiplicación mapa.

Comentario 1 tenga en cuenta que $\mathbb{R}^2$ tiene otro natural de la estructura algebraica, es decir, el producto de álgebra estructura en $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ en el que además es el mismo que para $\mathbb{C}$ (es decir, $(a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)$), pero la multiplicación es muy diferente: $(a, b)(c, d) := (ac, bd)$. En particular, esta álgebra tiene divisores de cero (por ejemplo, $(1, 0)(0, 1) = (0, 0)$), por lo que no es enfáticamente un campo.

Como $\mathbb{C}$, sin embargo, tiene una natural conjugación mapa de $\bar{\cdot}$ y un compatibles degenerada $\mathbb{R}$valores de una forma cuadrática, es decir, $N: x \mapsto x \bar{x}$ que respeta la estructura del producto, de modo que N(xy) = N(x)N(y)$; estas propiedades hacen que sea una composición de álgebra, que es como un indefinida de la firma de la versión de una normativa de la división de álgebra.

Observación 2 se puede definir otro naturales algebraicas estructura en $\mathbb{R}^2$ al declarar que las $i := (0, 1)$ satisface $i^2 = +1$ (en lugar de $i^2 = - 1$), por lo que el producto está dada por $(a, b)(c, d) : = (ac + bd, ad + bc)$, y, por analogía, nosotros llamamos a esto el álgebra de división complejo números de $\widetilde{\mathbb{C}}$. De nuevo, esto tiene divisores de cero $(1, 1)(1, -1) = (0, 0)$. De hecho, este es isomorfo como un $\mathbb{R}$-álgebra a $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ a través de la lineal mapa de $\mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \widetilde{\mathbb{C}}$ caracteriza por $(1, 0) \mapsto (1, 1)$$(0, 1) \mapsto (1, -1)$.

Answer 2

$\mathbb C$ es un campo en el que puede agregar y multiplicar los elementos, es decir, para$z,w\in\mathbb C$, tiene $z+w$% y$zw$ en$\mathbb C$.

$\mathbb R^2$ generalmente se ve como un espacio vectorial sobre el campo$\mathbb R$, en el que tiene dos operaciones: adición (que es idéntica a la adición en$\mathbb C$) y multiplicación con escalares (como$\alpha\cdot (x,y)$) Que es diferente.

Answer 3

No soy un especialista, mi primer pensamiento es que porque en$\mathbb{C}$ hay una operación y comportamiento específicos con la introducción de$i^2=-1$, por ejemplo, que no tenemos en$\mathbb{R}^2$ e históricamente ,$\mathbb{C}$ se introdujo para resolver la ecuación polinomial de grado 2.

Answer 4

El plano complejo$\mathbb{C}$ difiere de$\mathbb{R^2}$ en el hecho del elemento imaginario$i$. Puede ver$\mathbb{C}$ como la extensión de campo más pequeña de$\mathbb{R}$ que contiene tanto$\mathbb{R}$ como$i$, es decir,$\mathbb{C}=\mathbb{R}(i)$

Answer 5

Si entiendo tu pregunta, tienes razón en que, en cierto sentido, un número complejo es equivalente a un par ordenado de números reales. Pero cuando observamos operaciones aritméticas en números complejos, veremos que para la multiplicación necesitamos un resultado muy curioso: (x1, y1) (x2, y2) = (x1x2-y1y2, x1y2 + x2y1). Esto es lo que la notación i convenientemente hace por nosotros y por qué los números complejos no son simplemente conjuntos de reales ordenados.