Paradoja de los límites en el caso de la función seno

Question

Lo que según usted será la respuesta para: $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(1/x)}{\sin(1/x)}$$

Mi respuesta fue $1$ . El libro dice que no está definido y el argumento es que tanto el numerador como el denominador están en $[-1,1]$ Por lo tanto, no podemos determinar qué es exactamente.

Mi argumento es que, sea cual sea el valor que tome, ¿no debería ser el mismo en el numerador y en el denominador? Además, otro ejemplo puede ser:

$$\lim_{x \to 0} \frac{1/x}{1/x}$$

Yo digo $1$ de nuevo, porque es lo mismo. Pero, ¡no está definido si consideramos individualmente numerador y denominador! Aún así lo hemos anulado en este caso. ¿Por qué no puedo hacerlo en el caso de la función seno?

Answer 1

El límite no existe, pero no porque "tanto el numerador como el denominador estén en [-1,1], por lo que no podemos determinar cuál es exactamente". El denominador es $0$ siempre que $\frac{1}{x}$ es un múltiplo de $π$ por lo que en cualquier intervalo abierto que contenga $0$ hay un punto en el que la expresión no está definida y, por tanto, el límite no existe. Esto no tiene nada que ver con el comportamiento oscilante del numerador y el denominador.

En su otro ejemplo, el límite es efectivamente $1$ porque efectivamente está definida y es igual a $1$ en cualquier intervalo abierto de $0$ menos $0$ sí mismo.

Answer 2

Al considerar $\lim_{x\to 0} f(x)$ no importa si $f(0)$ se define en absoluto. Sin embargo, aún debemos echar un vistazo al dominio donde su función $f(x)=\frac{\sin(1/x)}{\sin(1/x)}$ se define. El problema es que a veces podemos dividir por $0$ En primer lugar $\frac1x$ no está definido para $x=0$ pero también $\sin(1/x)=0$ siempre que $\frac1x$ es un múltiplo entero de $\pi$ . Por lo tanto, el dominio máximo de $f$ es $$D=\mathbb R\setminus\bigl(\{0\}\cup\{\,\tfrac1{k\pi}\mid k\in\mathbb Z\setminus\{0\}\,\}\bigr).$$ Observamos que para un $\epsilon>0$ el conjunto $D\cap(-\epsilon,\epsilon)$ tiene más lagunas que en $x=0$ y sólo puedo imaginar que esto es lo que su libro objeta. Por otro lado, tiene sentido definir $\lim_{x\to a} f(x)$ para todos $a\in\overline D$ y eso incluiría ese caso $a=0$ . Sólo una redacción "desafortunada" de la definición de límite puede impedirlo, por lo que debe volver a comprobar cuál es la definición exacta de $\lim_{x\to a}f(x)$ está en su libro (incluyendo, qué condiciones se imponen sobre dónde $f$ se define).

Answer 3

No sé si debería ser un comentario o una respuesta:

En la mayoría de los libros, la definición de límite es: dado $ \epsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que $|f(x) - l| < \epsilon$ para todos $0<|x| < \delta$ . Usando esta definición, no hay límite, como se explica en muchas otras respuestas.

Sin embargo, algunos libros utilizan: dado $ \epsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que $|f(x) - l| < \epsilon$ para todos $x$ en el ámbito de $f$ Satisfaciendo a $0<|x| < \delta$ . Con esta segunda definición, entonces su función es constante en su dominio de definición, y el límite existe.

Supongo que su libro utiliza la primera definición.

Answer 4

Volver a lo básico Si quieres demostrar que el límite es 1 cuando x se acerca a 0, entonces $ \epsilon > 0$ ¿puede encontrar $\delta > 0$ tal que $|f(x) - 1| < \epsilon$ para TODOS $0<|x| < \delta$ ?

La respuesta es NO porque hay un número (infinito) de puntos en $(-\delta, 0) \cup (0,+\delta)$ donde $f(x)$ es indefinido - es decir, todos aquellos puntos como los señalados en las respuestas anteriores en los que $1/x$ es un múltiplo de $\pi$ .

Answer 5

Mi visión del problema: usted funciona $f$ se define en $D=(0,1]\setminus\{x\in [0,1]:\frac{1}{x\pi}\in\Bbb N\}$ . Es fácil ver que $f\equiv 1$ en $D$ . Por lo tanto podemos, por continuidad, decir que $f=1$ en $\bar D=[0,1]$ .

Así que, en otras palabras, el límite no existe tal cual, porque en cada vecindad de $0$ hay un punto en el que la función no está definida explícitamente. Sin embargo, en todos esos puntos podemos definir nuestra función por continuidad y luego pasar al límite $x\to 0$ .