$ \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4n - \frac{k^2}{n}} $ parece estar en desacuerdo con$\int_0^1 \frac{dx}{4-x^2}$

Question

1280454 en cuestión, t preguntaron cómo llegar a $$ \lim{n\to\infty} \sum{k=1}^{n} \frac{1}{4n - \frac{k^2}{n}} $ $ y por supuesto, usted puede escribir esto como $$ \lim{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum{k=1}^{n} \frac{1}{4 - \frac{k^2}{n^2}} = \int_0^1 \frac{dx}{4-x^2} $$ by using the variable $x=\frac{k}{n}$ en un integral de Reimann.

Sin embargo, $$\int0^1 \frac{dx}{4-x^2} = \frac18\left(\ln(5)-\ln(3) \right) \approx 0.06385$ $ mientras que cada uno de lo $n$ términos de \sum{k=1}^{n $$} \frac{1}{4n - \frac{k^2}{n}}$$ exceeds $\frac{1}{4n}$ so the sum must be greater than $\frac{1}{4}$ in all cases. (Experimentatlly, the limit is about $0.275$)

Lo que da???

Answer 1

Error de cálculo:

\begin{align} \int_0^1 \frac{dx}{4-x^2} &= \frac{1}{4}\int_0^1 \frac{1}{2+x} + \frac{1}{2-x}\,dx\ &= \frac{1}{4} \bigl[\log (2+x) - \log (2-x)\bigr]_0^1\ &= \frac{1}{4}\bigl[\log 3 - \log 1 - \log 2 + \log 2\bigr]\ &= \frac{1}{4}\log 3\ &> \frac{1}{4}. \end {Alinee el}

Answer 2

$$\dfrac1{4n-\dfrac{k^2}n}=\dfrac n{4n^2-k^2}=\dfrac14\dfrac{2n+k+(2n-k)}{(2n+k)(2n-k)}=\dfrac14\left[\dfrac1{2n+k}+\dfrac1{2n-k}\right]$$

Ahora sigue encontrar límite $\lim{n\rightarrow\infty}\sum{k=1}^{n}\frac{1}{k+n}$

Answer 3

De lo contrario su método debe tomar $ a$ 2 no 4 así la integral se evalúa para ser $$ \int_0^1 \frac{dx}{4-x^2} = \frac1{2a}\left(\ln(\frac{a+(x=1)}{a-(x=1)})-\ln(\frac{a+(x=0)}{a-(x=0)}) \right) = \frac1{2*2}\left (\ln(\frac{2+1}{2-1})-\ln (\frac{2}{2)} \right) = \frac1{4}\ln3 $$