¿Cómo simplificar y sustituir adecuadamente esta integral?

Question

$\int\frac{{\sqrt {25-x^2}}}x\,dx$

Veo que es la forma $a-x^2$ .

Dejemos que $x = 5\sin\theta$

Entonces sustituye esto $x$ valor en y obtener $\int\frac {\sqrt {25-(5 \sin\theta)^2}}{5 \sin\theta}\, d\theta $

Toma la raíz, simplificada a $\int\frac { {5-(5 \sin\theta)}}{5 \sin\theta}\,d\theta $

Factorizar 5 y cancelar, simplificado a $\int\frac { {5(1-( \sin\theta))}}{5 (\sin\theta)}\, d\theta $

Dividir por $\sin\theta$ para conseguir $\int\frac { (1-( \sin\theta))}{ (\sin\theta)}\, d\theta $

Simplificado a $\int\frac {1}{ \sin\theta}d\,\theta - 1 $

Estoy atascado aquí y no puedo resolverlo. Supuestamente la respuesta se simplifica a $\int-5 \sin x \tan x \,dx$

Answer 1

Si $x = 5\sin\theta$ entonces $dx = 5\cos\theta\, d\theta.$ Eso fue descuidado.

También ha sustituido $\sqrt{25 - (5\sin\theta)^2}$ con $5 - 5\sin\theta.$ Eso tampoco es correcto. Observe que, por ejemplo, $$ \sqrt{5^2 - 3^3} = \sqrt{25-9} = \sqrt{16} = 4 \ne 5-3, \text{ so } \sqrt{5^2-3^2} \text{ differs from } 5-3. $$

Answer 2

Comencemos por $x=5t $ y $dx=5\,dt $ .

se convierte en

$$\int\frac {\sqrt {25 (1-t^2)}}{5t}5\,dt $$

$$=5\int \frac {\sqrt {1-t^2}}{t}\,dt $$ ahora ponga $t=\sin (u) $ y $dt=\cos (u)\,du $ .

obtenemos

$$\pm 5\int \frac {\cos(u)}{\sin (u)}\cos (u)\,du $$

$$=\pm 5 \int \frac {\cos^2 (u)}{1-\cos^2 (u)}\sin (u)\,du $$

poner $v=\cos (u) $ y puedes terminar.

Answer 3

Siguiendo tus pasos, con correcciones:

$\int\frac{{\sqrt {25-x^2}}}x\,dx$

Veo que es la forma $a-x^2$ .

Dejemos que $x = 5\sin\theta$ Entonces $dx=5\cos\theta d\theta$

Entonces sustituye esto $x$ y $dx$ valor en y obtener $\int\frac {\sqrt {25-(5 \sin\theta)^2}}{5 \sin\theta}\, 5\cos\theta d\theta $

Utilizando la identidad trigonométrica, simplifica la raíz para obtener $\int\frac {\sqrt {25\cos^2\theta}}{5 \sin\theta}\, 5\cos\theta d\theta $

Factorizar 5 y cancelar, simplificado para obtener $\int\frac {5|cos\theta|}{ \sin\theta}\, \cos\theta d\theta $

(Ten en cuenta que aquí estamos tomando la raíz cuadrada de un cuadrado, por lo que deberíamos obtener el valor absoluto. A menos que estés en un dominio donde el coseno es positivo, no puedes descuidar esto).

Parece que no es aquí donde quieres ir.

Intentemos en cambio una sustitución de $x=5\cos\theta$ . Entonces $dx=-5\sin\theta d\theta$

Así, tenemos $-\int\frac{\sqrt{25-(5\cos\theta)^2}}{5\cos\theta}5\sin\theta d\theta$

Tras la simplificación, obtenemos $-5\int\frac{|\sin\theta|}{\cos\theta}\sin\theta d\theta$

La simplificación que se obtiene funciona si x es tal que $\sin\theta$ es siempre positivo, por lo que podemos eliminar el signo de valor absoluto.