¿Puede una curva simple y cerrada ser homeomorfa de una curva cerrada que no es simple?

Question

Parece que la mayoría de las definiciones estándar de las curvas simples en $\mathbb{R^2}$ son los que no tienen auto-intersecciones. Además, se puede demostrar que si $C$ es una curva cerrada simple, entonces $C$ es homeomorfo al círculo $S^1$ .

(Todo ello utilizando la topología del subespacio de la topología euclidiana estándar en $\mathbb{R^n}$ para ambos, es decir).

Supongamos una curva $C$ es no simple, de manera que tenga al menos un punto de auto-intersección. Es decir, si $C$ se identifica como la imagen de una función continua $f: S^1 \rightarrow \mathbb{R}^2$ del círculo al plano, entonces hay al menos un punto $p\in S^1$ en el que $f$ no es inyectiva.

En este caso, puede $C$ ¿sigue siendo homeomorfo a un círculo?

Mi corazonada es que no puede ser, y esto es lo que se me ha ocurrido hasta ahora:

Hacia una prueba directa, creo que si $q = f(p)$ es un punto de auto-intersección en la curva $C$ entonces la función inversa $f^{-1}$ puede no ser continua en $q$ . Intuitivamente, parece que los vecindarios alrededor de este punto siempre contendrán puntos de al menos dos "ramas" de $C$ pero no estoy seguro de cómo proceder a partir de aquí.

El uso de otras invariantes topológicas parecía prometedor - creo que la eliminación del punto $q$ rompe $C$ en al menos dos componentes conectados mientras se elimina su preimagen $p$ deja el círculo en una componente conectada. ¿Constituye esto una prueba válida?

Edición: Dicho de otra manera, si identificamos los nudos como imágenes continuas de $S^1$ incrustado en $\mathbb{R^3}$ , cuando un nudo es homeomorfo a $S^1$ ?

Answer 1

Tal vez le interese el Teorema de Hahn-Mazurkiewicz . Te dice que hay un montón de subconjuntos extraños de $\mathbb{R}^2$ que son "curvas cerradas", o más bien que son las imágenes de una función continua $f : S^1 \to \mathbb{R}^2$ Por ejemplo, el Triángulo de Sierpinski .

De hecho, el teorema caracteriza exactamente qué espacios topológicos (con algunas condiciones) pueden ser imágenes continuas de $S^1$ . Y, por supuesto, si el espacio no es homeomorfo a $S^1$ entonces el mapa $f$ no será inyectiva (como muestra el comentario de @LordSharkTheUnknown, lo contrario no es cierto).

Este es el enunciado habitual y muy general del teorema, utilizando $[0,1]$ como el dominio:

• Un espacio topológico Hausdorff no vacío es una imagen continua de $[0,1]$ si y sólo si es un espacio metrizable compacto, conectado y localmente conectado.

Desde $[0,1]$ es la imagen continua de $S^1$ y $S^1$ es la imagen continua de $[0,1]$ obtenemos otra versión del teorema como corolario inmediato:

• Un espacio topológico Hausdorff no vacío es una imagen continua de $S^1$ si y sólo si es un espacio metrizable compacto, conectado y localmente conectado.

Sólo preguntas por subconjuntos del plano, así que, por supuesto, puedes especializar este teorema para que se aplique sólo a esos subconjuntos:

• Un subconjunto no vacío de $\mathbb{R}^2$ es una imagen continua de $S^1$ si y sólo si es compacto, conectado y localmente conectado.

Son muchos subconjuntos raros.

La construcción aquí muestra visualmente que la Curva de Sierpinski es una imagen continua de $[0,1]$ y, por tanto, también de $S^1$ .

Answer 2

Toma $$\begin{array}{rccc}f\colon&S^1&\longrightarrow&\mathbb{R}^2\\&(x,y)&\mapsto&\left(\frac x{y^2+1},\frac{xy}{y^2+1}\right).\end{array}$$ Entonces $f$ no es inyectiva, porque $f(0,1)=f(0,-1)=(0,0)$ . Y la imagen de $f$ es un Lemniscate de Bernoulli que no es homeomorfo a $S^1$ porque si eliminamos el punto $(0,0)$ a partir de ella, la obtenemos wo componentes conectados. Eso no ocurre con $S^1$ .

Answer 3

Su noción de desconectar puntos en componentes separados también puede hacerse local - llamémoslos "puntos de corte". Diremos que un punto de corte local de orden $k$ es un punto $x$ con un barrio $U$ que contiene $x$ para que $U - \{x\}$ tiene $k$ componentes del camino.

La razón por la que necesitamos una noción local es porque podemos hacer curvas cerradas simples para las que la eliminación de un punto no separa la curva. Tomemos un signo de dinero, por ejemplo, $, y cerrémoslo uniendo el extremo de la S con el otro. Si eliminamos un punto de autointersección, todavía podemos dar la vuelta en el otro sentido. Pero un homeomorfismo preservará los puntos de corte locales así como los puntos de corte globales, y así el tipo de invariante que quieres funcionará en general, ya que la conectividad local (y el número de componentes del camino de un vecindario eliminado) son ambos preservados por funciones continuas, y por lo tanto homeomorfismos.