Dado un cilindro superficie $S={(x,y,z):x^2+2y^2=C}$. Que $\gamma(t)=(x(t),y(t),z(t))$ $\gamma'(t)=(2y(t)(z(t)-1),-x(t)(z(t)-1),x(t)y(t))$ a satisfacer. ¿Podemos garantía que $\gamma$ siempre en $S$ y periódica si $\gamma(0)$ $S$?
Respuesta
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Podemos volver a parametrizar $S=\{(\sqrt{C}\cos u,\frac{\sqrt{C}}{\sqrt{2}}\sin u, v): u,v\in \mathbb{R}\}$ desde $(\sqrt{C}\cos u)^2+2\left(\frac{\sqrt{C}}{\sqrt{2}}\sin u\right)^2=C$. Deje $r(t)= (x(t),y(t),z(t))$$r(0)=(x_0,y_0,z_0)$. Definir $V(x,y,z)=x^2+2y^2$. Desde $V(x,y,z)=C$$\frac{dV}{dt}=0$. Pero, por regla de la cadena obtenemos $0=\frac{dV}{dt}=\nabla{V}\cdot(x',y',z')$ por lo que el vector tangente de la parametrización de la curva que se cruzan $S$ en un punto siempre parpendicular con $\nabla{V}$. Desde $r(0)$ $S$ $\nabla{V}$ parpendicular con el plano tangente de $S$$r(0)$, $r'(0)$ sobre el plano tangente de $S$$r(0)$. Con este argumento, podemos concluir que $r(t)$ debe ser en $S$. Desde $S=\{(\sqrt{C}\cos u,\frac{\sqrt{C}}{\sqrt{2}}\sin u, v): u,v\in \mathbb{R}\}$ $x(t)=\sqrt{C}\cos (t-t_0)$ $y(t)=\frac{\sqrt{C}}{\sqrt{2}}\sin (t-t_0)$ $t_0$ satisfacción $x_0=\sqrt{C}\cos t_0$$y_0=-\frac{\sqrt{C}}{\sqrt{2}}\sin t_0$. Desde $z'=xy$$z'(t)=\frac{C}{2\sqrt{2}}\sin(2t-t_0)$, por lo tanto $z(t)=-\frac{C}{4\sqrt{2}}\cos(2t-t_0)$. Desde $r(2\pi)=(\sqrt{C}\cos (2\pi-t_0),\frac{\sqrt{C}}{\sqrt{2}}\sin (2\pi-t_0),-\frac{C}{4\sqrt{2}}\cos(2\pi-t_0))=(x_0,y_0,z_0)=r(0)$ $r(t)$ es periódica.
