$\sigma(x)$ no tiene ningún hueco en el álgebra de polinomios

Question

Dejemos que $A$ sea un álgebra de banach unital generada por dos elementos $1$ y $x$ . Entonces parece que $\sigma(x)$ no puede tener agujeros. Al menos esto es cierto en el caso de las álgebras de disco.

Esto equivale a demostrar que $\mathbb{C}\backslash\sigma(x)$ está conectado. Intenté algo pero no lo conseguí.

¿Puede alguien dar una pista? Gracias.

Answer 1

Denota por $\mathrm{sp}(A)$ el espectro Gelfand de $A$ . En primer lugar, demuestre que la transformada de Gelfrand $\hat{x} : \mathrm{sp}(A) \rightarrow \sigma(x)$ de $x$ es de hecho un homeomorfismo de espacios topológicos. Esto también implica que se puede identificar $C(\sigma(x))$ con $C(\mathrm{sp}(A))$ con el retroceso.

Ahora, teniendo en cuenta $\lambda \notin \sigma(x)$ , usted sabe que $(x - \lambda)$ es invertible y por tanto $(x - \lambda)^{-1} \in A$ . Porque $A$ es generado por un solo elemento $x$ esto implica que hay polinomios $p_n(z)$ tal que $p_n(x) \to (x - \lambda)^{-1}$ , en el interior $A$ . Tomando la transformada de Gelfand, también se tiene $\widehat{p_n(x)} \to \widehat{\frac{1}{x - \lambda}}$ dentro de $C(\mathrm{sp}(A))$ . Utilizando la identificación anterior, se obtiene de hecho una secuencia de polinomios complejos $p_n(z)$ que converge uniformemente sobre $\sigma(x)$ a la función holomorfa $\frac{1}{z - \lambda}$ .

Supongamos que $\mathbb{C} \setminus \sigma(x)$ no está conectado y lo descomponemos como $$\mathbb{C} \setminus \sigma(x) = \Omega_{\infty} \sqcup \Omega$$ donde $\Omega_{\infty}$ es el componente conectado abierto no limitado y $\Omega \neq \emptyset$ es un conjunto abierto acotado (no necesariamente conectado) que es la unión de todos los demás componentes conectados de $\mathbb{C} \setminus \sigma(x)$ . Definir $K = \sigma(x) \sqcup \Omega$ (el espectro junto con los agujeros). Entonces, como $\partial{\Omega} \subset \sigma(x)$ el conjunto $K$ es cerrado y acotado, por tanto compacto y tenemos $\partial{K} = \partial{\sigma(x)}$ . Esto, junto con el principio del módulo máximo, implica que para cualquier polinomio $p(z)$ tenemos $$\max_{z \in \sigma(x)} |p(z)| = \max_{z \in K} |p(z)|.$$

Dejemos que $\lambda \in \Omega$ . Tome la secuencia $p_n(z) \to \frac{1}{z - \lambda}$ que hemos construido anteriormente y que converge uniformemente sobre $\sigma(x)$ . Sea $m = \max_{z \in \sigma(x)} |{z - \lambda}|$ . Entonces, tenemos $n$ tal que $$\max_{z \in \sigma(x)} |p_n(z) - \frac{1}{z - \lambda}| < \frac{1}{m}.$$ Pero esto, junto con el principio del módulo máximo, implica que $$\max_{z \in \sigma(x)} |(z - \lambda) p_n(z) - 1| = \max_{z \in K} |(z - \lambda) p_n(z) - 1| < 1.$$ Enchufar $z = \lambda$ tenemos $1 < 1$ lo que contradice nuestra descomposición.

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Pongamos un poco de contexto a este argumento. En general, dado un subconjunto compacto $K \subset \mathbb{C}$ los polinomios complejos no van a ser densos en $C(K)$ . Por un lado, si una función es un límite uniforme de polinomios en $K$ y, a continuación, en $K^{\circ}$ (si no es vacío), será holomorfo. Pero hay más restricciones topológicas. Si $K$ es un conjunto compacto "con agujeros", entonces si se toma cualquier función holomorfa con un polo dentro de un agujero, no se podrá aproximar uniformemente sobre $K$ con polinomios. Por otro lado, si $K$ no tiene un agujero, entonces cualquier función que sea continua en $K$ y holomorfo en $K^{\circ}$ pueden ser aproximados por polinomios. Este es el teorema de Mergelyan, véase el capítulo 20 de "Análisis real y complejo" de Rudin. Lo que hemos hecho aquí es demostrar que si hay agujeros, y si $\lambda$ está dentro de tal agujero, entonces debido a la estructura especial de $A$ implica que la función $\frac{1}{z - \lambda}$ puede ser aproximado uniformemente por polinomios, lo que implica que de hecho no puede haber ningún agujero.