Preguntas sobre las extensiones de campo y la irreducibilidad

Question

Estas cuestiones están relacionadas con la teoría de Galois, pero son cuestiones generales de la teoría de campos.

Primera pregunta:

Entiendo el criterio de Eisenstein para demostrar la irreducibilidad de los polinomios sobre $Q$ . Sin embargo, no puedo entender, por ejemplo, cómo demostrar la irreducibilidad sobre $Q(\sqrt{3})$ o cualquier otra extensión simple. ¿Tengo que intentar escribir un potencial cero $\alpha$ del polinomio en la forma $a+b\sqrt{3}=\alpha$ ¿y derivar una contradicción? ¿O hay algún método por el cual la irreducibilidad sobre $Q$ produce información sobre la irreducibilidad sobre $Q(\sqrt{3})$ más fácilmente de lo que parece?

Segunda pregunta:

Dado un polinomio, ¿cómo puedo demostrar que un elemento no está en su campo de división? ¿Se trata de una prueba por contradicción escribiendo el elemento en cuestión como una combinación lineal de los vectores del campo de división sobre el campo base?

Tercera pregunta:

Esta es una pregunta increíblemente básica de una unidad anterior que todavía no puedo entender. Supongamos que quiero demostrar que $\sqrt{5}$ no está contenida en $Q(\sqrt{3})$ . Supongo que esto procedería como lo haría una prueba de irracionalidad de 2 escribiendo: Sea $$\sqrt{5} = a + b\sqrt{3}.$$ y demostrar que esto produce una contradicción. ¿Pero cómo? ¿Y hay una forma más general de hacer esto con cualquier elemento?

Tengo la sensación de que la mayoría de estas preguntas están relacionadas, ya que todas parecen reducirse a derivar una contradicción al considerar la extensión del campo como un espacio vectorial sobre el campo base. Si alguien pudiera arrojar algo de luz sobre este concepto básico, le estaría enormemente agradecido y estaría significativamente más preparado para abordar la más complicada teoría de Galois que se me viene encima.

Salud,

Flagelación en los campos

Answer 1

La respuesta básica a las tres preguntas es que, en esta etapa de tu proceso de aprendizaje, intentas escribir una factorización o expresión general de un elemento en términos de elementos base del campo, y derivas una contradicción, exactamente como has dicho. Hay un par de puntos/caves que vale la pena mencionar:

• Re 1ª pregunta: para polinomios de grado superior a 3, reducible no es lo mismo que tener un cero sobre el campo. Es posible que tengas que escribir factorizaciones generales en factores de diferentes grados. Por ejemplo, si tu polinomio es de grado 4, tienes que demostrar que no tiene raíz y que no se factoriza en dos cuadráticas sobre su campo.

• Existe un Criterio de Eisenstein sobre campos numéricos arbitrarios, pero aún no tienes los conocimientos lingüísticos/de fondo para enunciarlo.

• A veces, demostrar que un elemento no está en un campo determinado $K$ puede ser más sencillo: primero se encuentra su polinomio mínimo sobre $\mathbb{Q}$ Por ejemplo, escribiendo primero algún polinomio que mate el elemento, luego factorizándolo y determinando cuál de los factores irreducibles mata el elemento. Ahora, sabes que al unir este elemento a $\mathbb{Q}$ produce una extensión de grado igual al grado de su polinomio mínimo, $d$ digamos. Si tienes suerte, $d$ no dividirá el grado de $K$ en $\mathbb{Q}$ por lo que el elemento no puede estar en $K$ por la ley de la torre. Otra posibilidad es que no haya muchos subcampos de $K$ de grado $d$ Así que tienes que demostrar que la unión de tu elemento no te da ninguna de las dos cosas.

• Más adelante, tendrá más formas de demostrar que dos campos (como $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ y $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ ) no son iguales, utilizando sus propiedades de ramificación, como señala un comentario. Por ahora, puedes resolver la ecuación obvia que has escrito, o utilizar trucos como el siguiente: básicamente quieres demostrar que $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ no es lo mismo que $\mathbb{Q}(\sqrt{3},\sqrt{5})$ . Por lo tanto, estará hecho si puede encontrar un elemento de $\mathbb{Q}(\sqrt{3},\sqrt{5})$ con un polinomio mínimo de grado 4. ¿Adivinas qué elemento probar?