Pregunta simple "Set de puntas" de Aluffi ' s álgebra

Question

$$\require{AMScd}:$$Perdóname por esta extremadamente pregunta básica. Yo estoy pasando por Aluffi del libro `Álgebra", y en un ejemplo temprano, escribe lo siguiente:

Deje $C = Set$ $A = $ fijo singleton $\big\{*\big\}$. Llame a la resultante de la categoría $Set^{*}$. Un objeto de $Set^{*}$ es una de morfismos $f:\big\{*\big\} \to S$ $Set$ donde $S$ es cualquier conjunto. Podemos denotar un objeto de $Set^{*}$ como un par $(S,s)$ donde $S$ es cualquier conjunto y $s \in S$ es cualquier elemento de $S$. Una de morfismos entre dos de tales objetos $(S,s) \to (T,t)$ corresponde a una función del conjunto de $\sigma: S \to T$ tal que $\sigma(s) = t$.

Mi pregunta es: ¿cómo puede ser esto se expresa en el diagrama? I. e. ¿cómo puede el morfismos ser definido en el diagrama? Estoy tentado a escribir la siguiente, pero mi sensación es que sería incorrecto.

\begin{CD} \big\{s\big\} @>{\sigma}>> \big\{t\big\}\\ @V{f}VV @VV{g}V \\ S @>{\sigma}>> T \end{CD}

¿Por qué es incorrecto? Bien, esto implica $g\sigma(s) = g(t) = T = \sigma( S )= \sigma f(s)$...lo que me hace incómodo.

Pido disculpas si esta pregunta parece demasiado trivial.

Answer 1

No es una pregunta tonta en absoluto. Es bueno tratar de dibujar diagramas, pero la mejor descripción de $\mathrm{Set}^*$ a hacer eso es el primero que dio, no la segunda. De hecho, se puede dibujar un morfismo $\sigma \colon S \to T$ como un triángulo comutativo: tienes mapas de sistemas

$$f_S \colon {} \to S$ $ $$f_T \colon {} \to T$ $ $$\sigma \colon S \to T.$ $ Lo que conmuta el triángulo significa exactamente que $\sigma(s) = t$, donde $s=f_S()$ y $t=f_T()$.

Answer 2

Aquí $S$ y $T$ son conjuntos con $s\in S$ y $t\in T$.

$f:\star\to\langle S,s\rangle$ Y $g:\star\to\langle T,t\rangle$ son objetos en $\mathbf{Set}^{\star}$.

Son funciones $\star\to S$ $\star\to T$ respectivamente, prescribir y por $f(\star)=s$ y $g(\star)=t$ respectivamente.

Las flechas $\sigma:\langle S,s\rangle\to\langle T,t\rangle$ son funciones $S\to T$ que hacer el siguiente diagrama conmute por satisfacer $\sigma(s)=t$.

$$\begin{array}{ccccc} & & \star\ & \stackrel{f}{\swarrow} & & \stackrel{g}{\searrow}\ \left(S,s\right) & & \stackrel{\sigma}{\longrightarrow} & & \left(T,t\right) \end{matriz} $$