Deduce un procedimiento para seleccionar una de las 2 opciones con igual probabilidad cuando no estamos usando una moneda justa.

Question

Deduce un procedimiento para seleccionar una de las 2 opciones con igual probabilidad cuando no estamos usando una moneda justa.

• $P(\text{H}) = p$ .
• $P(\text{T}) = 1 - p = q$ .

Se me ocurrieron los siguientes resultados de dos rollos:

• $P(\text{HH}) = p^2$ .
• $P(\text{HT}) = pq$ . Que el evento $\text{HT}$ sea $A$ .
• $P(\text{TH}) = qp$ . Que el evento $\text{TH}$ sea $B$ .
• $P(\text{TT}) = q^2$ .

Si $\text{HH}$ o $\text{TT}$ es golpeado repetimos el lanzamiento hasta que $A$ o $B$ . Así que \begin{align} P(A) & = pq + (p^2 + q^2)pq + (p^2 + q^2)^2pq + \ldots \\ & = pq(1 + (p^2 + q^2) + (p^2 + q^2)^2 + \ldots) \\ & = pq\left(\frac{1}{1 - (p^2 + q^2)}\right) \\ & = \frac{p(1 - p)}{2pq} = \frac{p(1 - p)}{2p(1 - p)} = \frac 12. \end{align} Ahora queremos resolver un número diferente a 1/2, es decir, 1/3 o 3/4 donde alguna solución se hace en una cantidad fija de N vueltas. ¿Cómo podemos encontrar una fórmula para esto?

Answer 1

Su solución no tiene un límite fijo garantizado $N$ en el número de lanzamientos de monedas sesgadas que se requieren. El número esperado de lanzamientos es finito, y el procedimiento se ejecuta para siempre con la probabilidad $0$ (por lo que no puede ocurrir), pero para cualquier $N$ hay una pequeña probabilidad de que su procedimiento requiera más de $N$ voltea. Así que si eso te parece bien, entonces aquí es cómo se obtiene cualquier probabilidad objetivo $p_1$ . Utiliza su procedimiento como una subrutina para poder obtener un flujo de lanzamientos de moneda justos. Entonces, para una probabilidad objetivo dada $p_1$ para el que puedes calcular iterativamente la expansión binaria, lanzas tu moneda justa hasta que obtengas cara. Si se necesita $N$ lanzamientos justos de la moneda hasta que se obtiene cara, entonces se declara el evento $A$ si el $N$ dígito binario en la expansión de $p_1$ es $1$ y usted declara el evento $B$ si el $N$ El segundo dígito binario de la expansión es $0$ . Este procedimiento tiene un número esperado finito de tiradas, y la probabilidad de que se obtengan infinitas tiradas es $0$ aunque, de nuevo, para cualquier tamaño arbitrario $N$ existe una pequeña probabilidad de que el procedimiento requiera más de $N$ tiradas de su moneda original y tendenciosa.