Deje $f:\Omega \rightarrow \mathbb{C}$ ser un holomorphic función de donde $\Omega:=\{z\in\mathbb{C}; -1<Re(z)<|Im(z)|\}$ ($\Omega$ está abierto, conectado, no convexa). Si
a)$|f(z)-(z+1)|<1/4$ y
b)$|f'(z)-1|<1/4$
a continuación, $f$ es inyectiva en a $\Omega$.
PS.: 1)es obvio que va a ser localmente inyectiva ya que $f'(z)\neq 0$, $\forall z\in\Omega$ (utilizando b)... pero, ¿cómo puedo garantizar que va a ser para toda la $\Omega$?
2)no estoy seguro de si tenemos que utilizar la parte a).
3) Si $\Omega$ es convexa es trivial:
Supongamos que $a\neq b$ s.t $f(a)=f(b)$. Así, considerar la línea recta $\gamma$, conectando a $a$$b$, es decir, $\gamma:[0,1]\rightarrow \Omega$ se define como $\gamma (t)=a+(b-a)t$. Desde $\Omega$ es convexa, esta línea se encuentra en $\Omega$ $f$ es holomorphic aquí. Por lo tanto,
$0=f(b)-f(a)=\displaystyle\int_{\gamma}f'(z)dz=\int_{0}^{1}f'(\gamma(t))\gamma'(t)dt=\int_{0}^{1}f'(a+(b-a)t)(b-a)dt$
Como $(b-a)\in\mathbb{C}^{*}$ es sólo una constante (no-cero desde $a\neq b$, por supuesto). Tenemos:
$\displaystyle0=\int_{0}^{1}f'(a+(b-a)t)dt$ $\Rightarrow \displaystyle -1=\int_{0}^{1}(f'(a+(b-a)t)-1)dt $ (la adición de (-1) de ambos lados). Ahora, Teniendo el módulo, se han
$1=\displaystyle|\int_{0}^{1}(f'(a+(b-a)t)-1)dt|\leq \int_{0}^{1}|(f'(a+(b-a)t)-1)|dt<\int_{0}^{1}\frac{1}{4}dt=\frac{1}{4}$ (tenemos que usar la asunción (b) para la última desigualdad). Por Eso, $1<\frac{1}{4}$, Contradicción. Por lo tanto, $f(a)\neq f(b)$, es decir, $f$ es inyectiva. $\square$
$\Omega$:
