Quiero empezar matemáticas desde cero. ¿Con qué debo comenzar?

Question

Acabo de terminar la escuela secundaria pero no siento que mi conocimiento de matemáticas sea lo suficientemente bueno. Me gustaría empezar de cero, posiblemente añadiendo un poco (mucho) de resolución de problemas. ¿En qué orden debería estudiar las diversas ramas de las matemáticas? ¿Cuáles son algunos buenos libros para hacerlo? Ten en cuenta que por 'empezar desde cero' me refiero a comenzar desde (posiblemente a nivel universitario) teoría de conjuntos y las cuatro operaciones. ¡Gracias de antemano por las respuestas!

Answer 1

Siento que depende de a dónde te dirijas. Si quieres hacer de las matemáticas tu profesión futura, la manera en que tomas será diferente a la de un ingeniero. Por ejemplo, en mi caso soy estudiante de ingeniería y tuve que estudiar mucho cálculo, probabilidad y muchas cosas impresionantes, pero al final del día aún sentía que mi conocimiento en matemáticas era insatisfactorio (por eso estoy en este sitio, por cierto).

Así que en el camino hacia alcanzar tu objetivo, aquí está lo que puedo decir basado en mi experiencia.

Si la ingeniería es tu camino:

Tienes que trabajar mucho en la resolución de problemas. Una posible forma de abordar la tarea es la siguiente. Comienza con el cálculo "normal", pero ahora intenta comprender los conceptos no solo para calcular respuestas, sino también para entender qué significa en la vida real. Por ejemplo, "límites". Debes haber estudiado eso en la escuela secundaria. Comprende cuidadosamente qué significa. Intenta encontrar ejemplos donde este concepto pueda encajar. Aquí tienes un ejemplo: se me da un material cuya 'flexibilidad' está modelada por una función dada. Y esa función depende de la temperatura. Aquí los límites pueden ayudarte a comprender cómo se comporta el material cuando la temperatura tiende hacia un cierto valor. Mira ... Intenta empezar a pensar así sobre los conceptos, no solo resolver ejercicios - pero no me malinterpretes: los ejercicios son de crucial importancia en el aprendizaje, pero la diferencia entre tú y un software matemático es que debes entender el por qué de cada cálculo que estás haciendo.

Ahora un posible mapa de ruta:

I/ Cálculo:

1. Límites

2. Diferenciación

3. Integración

4. Series

5. Funciones Gamma y Beta

6. Transformadas integrales

   • Haz una pausa larga después de esta etapa para asegurarte de que realmente entiendes bien estas cosas

7. Ecuaciones diferenciales

8. Cálculo vectorial

9. Análisis complejo

II/ Álgebra

1. Matrices y determinantes
2. Ecuaciones lineales
3. Vectores
4. Autovalores y autovectores

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A partir de ahí, puedes avanzar y estudiar otras áreas de interés principalmente (i) Optimización de ingeniería y análisis numérico (ii) Estadística y probabilidad.

Estos dos porque como ingeniero, cuanto antes comiences a producir resultados, mejor estarás.

Comenzar con cálculo es importante porque tiene muchas aplicaciones con las que puedes jugar, te brinda habilidades computacionales rápidamente si haces ejercicios, tiene conceptos interesantes y forma la base de gran parte de la matemática con la que los ingenieros lidian.

Libros posibles:

• "Cálculo" de Michael Spivak como ya se mencionó
• "Cálculo diferencial e integral" de Richard Courant
• Y algunos de los "(Matemáticas aplicadas) para científicos e ingenieros". No tengo ni idea de cuál recomendar, hay tantos y algunos son buenos.

Entonces, básicamente, se reduce a

• Entender conceptos
• Hacer ejercicios
• Encontrar aplicaciones prácticas para relacionar las matemáticas con cosas del mundo real

Si las matemáticas son tu camino:

Ahora, si quieres hacer de las matemáticas tu profesión, necesitarás un marco mental diferente. Primero, ni soy matemático profesional ni he alcanzado un nivel en el que pueda decir que estoy pensando como uno. Aún así, ese es también mi objetivo. Así que compartiré contigo lo que he aprendido hasta ahora.

Primero, los matemáticos, por lo que puedo ver hasta ahora, trabajan de manera diferente a físicos e ingenieros. Cuando llegues a un teorema, no sigas y leas la demostración, primero intenta probarlo tú mismo.

Eso formará la base del matemático en ti.

Estos son los libros con los que puedo aconsejar comenzar.

1. "Cómo demostrarlo, Un enfoque estructurado" de Daniel Velleman. Un buen libro para una introducción a las demostraciones. Me gusta la idea de premisas y Objetivos.

2. "Libro de pruebas" de Richard Hammack. Un buen libro. Puedes empezar con este o con Velleman. Lo que me gusta de este es que la lógica y la teoría de conjuntos están separadas en comparación con Velleman. - http://www.people.vcu.edu/~rhammack/BookOfProof/

Una vez que tengas una base en Teoría de conjuntos (no demasiada, lo que se proporciona en los dos anteriores será suficiente) y en demostraciones, continúa con estos:

3. Cualquiera de "Principios de análisis matemático" de Walter Rudin
4. O "Topología sin lágrimas" de Sydney Morris - http://uob-community.ballarat.edu.au/~smorris/topbook.pdf
5. O "Álgebra abstracta: Teoría y aplicaciones" de Thomas Judson - http://abstract.ups.edu/index.html

Siempre intenta probar los teoremas antes de leer la demostración. Cada vez que leas un libro de matemáticas, generalmente a nivel de posgrado (no te preocupes por estos por ahora), y te dicen que se espera cierta "madurez matemática" del lector, lo que simplemente significa es que esperan que puedas probar los teoremas o al menos seguir los argumentos lógicos.

Literatura matemática

También recomiendo mucho, como otros, que intentes leer sobre matemáticas en un sentido general. Algunos libros con los que puedes empezar, aquí están.

1. "Dios creó los enteros: los avances matemáticos que cambiaron la historia" de Stephen Hawking. ¡Libros interesantes, este es!
2. "¿Qué es las matemáticas?" de Richard Courant
3. "La música de los números primos - buscando resolver el mayor misterio en matemáticas" de Marcus du Sautoy

Puede que no puedas seguir las demostraciones en los dos primeros libros, ¡pero de todos modos, disfrutarás del viaje!

¡Así es lo mejor que puedo hacer por mi nivel y te deseo buena suerte y éxito!

Answer 2

Tuve una situación similar hace unos 2 años, y aquí tienes algunos puntos rápidos de mi experiencia:

• Comencé leyendo Álgebra de Gelfand y Shen (libro de álgebra de secundaria) y Geometría de Kiselev. Estos son libros sólidos para material de secundaria, pero en última instancia no profundizan lo suficiente y por lo tanto no pueden proporcionar una comprensión profunda ni mostrar toda la belleza de las matemáticas.
• Después en mi lista de lectura estaba el hermoso Cálculo de Spivak. No puedo exagerar lo bueno que es este libro para un estudiante principiante. La prosa de Spivak es encantadora, su exposición es perspicaz y sus ejercicios son interesantes. Creo que incluso se podría empezar por Spivak, ya que es autocontenido y (con esto me refiero a sus primeros cuatro capítulos) potencialmente te dará más conocimientos en álgebra (de secundaria) de los que podrías obtener leyendo un texto de álgebra (de secundaria).
• Algunas personas se preocupan más y otras menos por los fundamentos. En cualquier caso, dos textos sólidos son los tratados de Enderton sobre teoría de conjuntos (Elementos de teoría de conjuntos) y lógica matemática (Una introducción matemática a la lógica). No son muy pesados, aunque este último a veces puede ser un poco árido.
• Mencionaste análisis y teoría de números; realmente no necesitarás teoría de números en análisis, pero la teoría de números es hermosa y vale la pena aprenderla por sí misma. Recomendaría comenzar con Teoría Elemental de Números de Dudley, es bastante ligero y tiene muchos ejercicios.
• No tengo consejos concretos sobre ellos, pero tanto el álgebra abstracta como la topología no deben pasarse por alto.
• ¡Lee sobre matemáticas! Hay muchos resúmenes útiles sobre las matemáticas, sus métodos y resultados, y leerlos es crucial para obtener el panorama general. Un recurso posible es El Compañero de Matemáticas de Princeton, pero simplemente navegar por artículos matemáticos en Wikipedia o leer algunas buenas preguntas generales aquí o en Mathoverflow puede ser muy esclarecedor.

Answer 3

Si quieres informarte sobre matemáticas introductorias a nivel universitario, te sugeriría que eches un vistazo al plan de estudios de matemáticas de primer año de alguna universidad. Especialmente las universidades "grandes" tienen sitios web que contienen descripciones detalladas de sus cursos y plan de estudios. Observa qué temas cubren y qué libros utilizan. A menudo también podrás encontrar apuntes de clase, etc. que son un buen complemento a la literatura sugerida.