Evaluación de la integralidad $ \int \sqrt{\sin x}\; dx$

Question

Evaluación de la integralidad $\displaystyle \int \sqrt{\sin x}\; dx$

$\bf{My\; Try::}$ Dejemos que $\sin x = y^2\;, $ Entonces $\displaystyle \cos xdx =2ydy\Rightarrow dx = \frac{2y}{\sqrt{1-y^4}}dy$

Así que $\displaystyle \int \sqrt{\sin x}\;dx = 2\int \frac{y^2}{\sqrt{1-y^4}}dy = 2\int y^2\cdot \left(1-y^4\right)^{-\frac{1}{2}}dy$

(Usando Wolframalpha muestra los resultados en forma de integral elíptica de primer y segundo tipo).

Ahora, ¿cómo puedo resolver después de que

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Answer 1

Efectivamente $$\displaystyle \begin{align} & \int \sqrt{\sin x}\; dx=-2 E\left(\left.\frac{1}{4} (\pi -2 x)\right|2\right) \\ & 2\int \frac{y^2}{\sqrt{1-y^4}}dy= 2 \left(E\left(\left.\sin ^{-1}(y)\right|-1\right)-F\left(\left.\sin ^{-1}(y)\right|-1\right)\right) \end{align}$$ En mi opinión, no se pueden eliminar las integrales elípticas. El resultado sería aún peor utilizando la sustitución de Weierstrass.