Respecto a un mapa homogéneo sobre un espacio vectorial

Question

Dejemos que $(X,\|.\|)$ sea un espacio de Banach complejo. Sea $S$ sea un subespacio denso de $X$ . Dejemos que $f:X\longrightarrow\mathbb{C}$ sea un mapa tal que $f$ es lineal y acotada en $S$ y también $f$ es homogéneo en $X$ es decir $f(\alpha x)=\alpha f(x)$ por cada $\alpha\in \mathbb{C}$ y $x\in X$ .

¿Podemos decir que $f$ es continua o lineal en $X$ ?

Sé que el teorema de Hahn Banach asegura la existencia de una única extensión lineal y acotada a $f$ restringido a $S$ . Pero pregunto por la linealidad o continuidad de $f$ mismo en todos los $X$ .

Answer 1

No, $f$ no es necesariamente lineal ni continua. Sea $X = l^2$ con elementos denominados $x=(x_0, x_1, \dots)$ . Considere el hemisferio $H = \{ \|x\| = 1, x_0 \ge 0\}$ y que $g : H \to \mathbb C$ sea cualquier función. Definir $h : X \to \mathbb C$ por $h(x) = \begin{cases} g \left( \frac x {\|x\|} \right) \|x\| , & x_0 \ge 0 \\ g \left( -\frac x {\|x\|} \right) \|x\|, & x_0 < 0 \end{cases}$ y observe que se trata de una función homogénea, no necesariamente continua, sobre $X$ . Definir $f : X \to \mathbb C$ como $f(x) = \begin{cases} 0, & x \in S \\ h(x), & x \in X \setminus S \end{cases}$ . Para ver que $f$ es homogénea, observe que $x \in S \iff rx \in S \ \forall r \in \mathbb \setminus \{0\}$ . Observe que, en general, $f$ no es ni continua ni lineal.

Answer 2

Supongamos que se tiene un espacio de Banach $X$ y un subespacio denso $S$ tal que $X=S\oplus T$ donde $T$ no es de dimensión finita. 1 (Por $\oplus$ Me refiero a la suma directa como espacio vectorial .)

Desde $T$ es de dimensión infinita, existe un funcional lineal discontinuo 2 $f\colon T\to\mathbb R$ . Ampliándolo mediante la elección de $f|_S=0$ se obtiene un funcional lineal definido en $X$ que es cero en $S$ . Así que cumple sus condiciones. (No es continuo si se toma $X$ como dominio, pero la restricción a $S$ es continua. Es lineal en $X$ y, en consecuencia, también en $S$ .)

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1 Es posible encontrar estas situaciones. Considere $X=\ell_2$ y $S=c_0$ es decir, $S$ consiste en todas las secuencias con soporte finito. La dimensión de Hamel de $S$ es $\aleph_0$ pero $\ell_2$ tiene dimensiones Hamel incontables, ya que es un espacio de Banach. (Véase también: Dejemos que $X$ sea un espacio de Banach de dimensión infinita. Demostrar que toda base de Hamel de X es incontable. )

2 Véase también: Funcional lineal discontinuo .