El producto del subgrupo de conmutador con cualquier subgrupo

Question

Permita que$G$ sea un grupo y permita que$G'$ sea su subgrupo de conmutadores. Si$H$ es cualquier subgrupo de$G$, ¿el subgrupo$G'H$ es normal en$G$?

Answer 1

Sí. Esto se desprende del Teorema de Correspondencia, porque$G'H/G'$ es un subgrupo del grupo abeliano$G/G'$, por lo que$G'H/G'$ es un subgrupo normal de$G/G'$. Por lo tanto,$G'H$, que es la preimagen completa de$G'H/G'$, es normal en$G$, que es la preimagen completa de$G/G'$.

Answer 2

Usted puede ver esto explícitamente, sin el teorema de la correspondencia, como sigue:

• Tenga en cuenta que si $N\unlhd G$ y $H\leq G$ y $NH\leq G$ (este es un ejercicio fácil). Por lo tanto, $G^{\prime}H\leq G$.
• Si $g\in G$, $c\in G^{\prime}$ y $h\in H$ y $g^{-1}chg=(g^{-1}cg)(g^{-1}hgh^{-1})h$. Como ambos $g^{-1}cg, g^{-1}hgh^{-1}\in G^{\prime}$, el resultado sigue.