Hay un ejemplo para $\|f_n-f\|_p\rightarrow 0$% y $\|f_n\|_p\nrightarrow \|f\|_p$, $0<p<1$

Question

Sé que si $p\geq1$, $|f_n-f|_p\rightarrow 0$ implica $|f_n|_p\rightarrow |f|_p$, desde luego desigualdad de Minkowski asimientos para la norma de $L^p$ ($p\geq1$). ¿Hay un ejemplo $|f_n-f|_p\rightarrow 0$, $|f_n|_p\nrightarrow |f|_p$, cuando $0

Aquí $|f|p=(\int\Omega|f(x)|^p \mathrm{d}x)^{1/p}$.

Respuesta de Nathanael Skrepek me recordó que aunque la desigualdad de Minkowski no tiene cuando $p

Answer 1

Así que me temo que esto no es posible.

Permite denotar $\rho(f) := \|f\|_p^p = \int_\Omega |f|^p \mathrm{d}\mu$. Tenga en cuenta que $\rho$ cumple la desigualdad de triángulo (Wikipedia referencia). Esto lleva a \begin{align}\rho(g) &= \rho\big(f+(g-f)\big) \leq \rho(f) + \rho(g-f) \\ \rho(g) - \rho(f) &\leq \rho(g-f) \end{align} y, además, a $|\rho(g) - \rho(f) |\leq \rho(g-f)$.

Dotado con este conocimiento permite estudiar tu caso: Sabemos que a partir de $\|f_n-f\|_p \to 0$ sigue \begin{align} \rho(f_n-g)=\|f_n-f\|_p^p \to 0. \end{align} Aplicando el resultado anterior recibimos \begin{align} \big|\|f_n\|_p^p-\|f\|_p^p\big|=|\rho(f_n)-\rho(f)| \leq\rho(f_n-g)\to 0. \end{align} Ahora sabemos que $\|f_n\|_p^p \to \|f\|_p^p$ mantiene. Dado que el rango de $\rho:f \mapsto \int_\Omega|f|^p\mathrm{d}\mu$ $[0,+\infty)$ la función de $x\mapsto x^{q}$ (por cada $q>0$) está bien definido e inyectiva en el intervalo de $\rho$. Por lo tanto también podemos concluir que el \begin{align} \|f_n\|_p \to \|f\|_p \end{align} sostiene.