Ayuda con una desigualdad ' he encontrado

Question

Estoy tratando de demostrar la siguiente desigualdad $$ab\leq a\xi^{-1}(a)+b\xi(b)$$ $% $ $\ \forall a,b>0$

donde $\xi$ es una función estrictamente creciente con $\xi(0)=0$ y $\lim_{r\rightarrow +\infty} \xi(r)=+\infty$

¿Alguien me puede ayudar?

Answer 1

Ya que estrictamente es aumento de $\xi$ $\xi(0)=0$, es suficiente demostrar que sea $\xi(b)\ge a$ o $\xi^{-1}(a)\ge b$.

Supongamos que $\xi(b)<a contradicci="" da="" el="" entonces="" que="" si="" una=""></a>

Answer 2

Dibujar la gráfica de $y = \xi(x)$. Lugar $a$ en el $x$-eje y $b$ en el $y$-eje. Entonces, interpretar cada producto de la desigualdad como el área de un rectángulo:

$Q_1 = {(x,y) : 0 \leq x \leq a, 0 \leq y \leq b}$

$Q_2 = {(x,y) : 0 \leq x \leq a, 0 \leq y \leq f(a)}$

$Q_3 = {(x,y) : 0 \leq x \leq f^{-1}(b), 0 \leq y \leq b}$

La desigualdad es una consecuencia trivial de $Q_1 \subset Q_2 \cup Q_3$.