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Question

<blockquote> <p>Encontrar $\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^{x^2}-\cos x^{\sqrt{2}}}{x^2}$</p> </blockquote> <p>Usando serie de Taylor: $$\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^{x^2}-\cos x^{\sqrt{2}}}{x^2}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{(1+x^2+O(x^{2n}))-(1-\frac{x^{2\sqrt{2}}}{2}+O(x^{\sqrt{2}(2n+1)})}{x^2}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\frac{2x^2+x^{2\sqrt{2}}}{2}}{x^2}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{2x^2+x^{2\sqrt{2}}}{2x^2}$ $</p> <p>¿Cómo evaluar este límite?</p>

Answer 1

Sugerencia. Sólo puede escribir, como $x \to 0$, \frac{e^{x^2}-\cos $ (x^{\sqrt{2}})}{x^2}=\frac{x^2(1+\frac12x^{2\sqrt{2}-2})+O(x^4)}{x^2}=1+\frac12x^{2\sqrt{2}-2}+O(x^2) \longrightarrow 1. $$ La $x^{2\sqrt{2}}$ de hecho, es insignificante en comparación con $x^2$.

Answer 2

A partir de donde te quedaste, dividimos el numerador y el denominador por $x^2$ obtenemos $\frac{2+x^{2\sqrt{2}-2}}{2}$. Ahora $\lim_{x\to 0}{\frac{2+x^{2\sqrt{2}-2}}{2}}=\frac{2+0}{2}=1$

Answer 3

Tenga en cuenta que la función $\cos x^{\sqrt{2}}$ sólo define $x>0$, así que podemos fijar $t=x^2$, por lo tanto, $x=t^{1/2}$ y $x^{\sqrt{2}}=t^{\sqrt{2}/2}$. Así se convierte en el límite, donde $a=\sqrt{2}/2$, $$ \lim{t\to0^+}\frac{e^t-\cos(t^a)} {t} $$ y nosotros podemos aplicar l'Hôpital: $$ \lim{t\to0^+}(e^t+at^{a-1}\sin(t^a)) = \lim_{t\to0^+}\left(e^t+at^{2a-1}\frac{\sin(t^a)} {t ^ a} \right) = 1 $$ porque $2a-1>0$