Encontrar el máximo valor posible de determinante dada la restricción

Question

La tarea es encontrar la máxima posible valor determinante para 2x2 y 3x3 matrices dada de la siguiente restricción: $$\sum_{i,j=1}^na_{ij}^2 \le 1$$
Yo era capaz de llegar con la solución, pero he recibido el resultado de la prueba, donde me marcó cero para esta tarea. Yo todavía no tiene la oportunidad de echar un vistazo a mi examinado el papel, pero por ahora sólo quiero saber es si mi solución era realmente cierto.
Solución
Primer trivial idea es que el óptimo se alcanzaría en el punto exacto, la igualdad de $\sum_{i,j=1}^na_{ij}^2 = 1$.
Entonces, los términos que participan en el detonante de cálculo con signo menos, debe ser negativo o cero.
$$\left( \begin{matrix} \frac 1 {\sqrt 2} & 0 \\ 0 & \frac 1 {\sqrt 2} \end{de la matriz}\right)$$

$$\left( \begin{matrix} \frac 1 {\sqrt 3} & 0 & 0 \\ 0 & \frac 1 {\sqrt 3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac 1 {\sqrt 3} \end{de la matriz}\right)$$
Así que se me ocurrió con estas matrices y sus respectivos det valores de $\frac 1 2$$\frac 1 {3\sqrt 3}$.

Es eso correcto? Gracias!

Answer 1

Aquí es un argumento geométrico que iba a dar:

Siempre es posible descomponer cualquier matriz en un producto de una matriz ortogonal y una triangular superior de la matriz. Transformación ortogonal es isometría, por lo $\sum\limits_{i,j=1}^{n}a_{ij}^{2}$ se conserva en el triangular superior de la matriz. Ortogonal de la matriz tiene determinante 1 o -1, así que no hay efectos sobre el valor absoluto del determinante. Por lo tanto necesitamos para que busque sólo en el factor determinante de la triangular superior de la matriz con la misma limitación, pero determinante no sólo se ven afectados por la diagonal.

Answer 2

No puedo seguir su argumento sobre el signo menos. En lugar de eso me iba a razón de la siguiente manera. La desigualdad dada, significa la suma de cuadrados de la columna normas de la matriz no debe exceder $1$. Claramente si es que en realidad menos de$~1$ uno y el determinante es positivo, uno puede hacer el determinante más grande por la ampliación de algunos de columna, así que esto no puede suceder en una solución óptima; por consiguiente, se puede asumir que la suma de sqaures es igual a$~1$. (Estoy implícitamente el uso de que existe una solución óptima, lo cual es debido a que el determinante es una función continua en el compacto conjunto de matrices satisface la desigualdad.)

Ahora bien, si dos columnas normas son distintas, entonces uno puede aumentar de forma similar el determinante mediante la ampliación de ambas columnas, aumentando la más pequeña y la disminución de la más grande, manteniendo su suma de cuadrados constante. Esto es básicamente debido a que la función $xy$ en el avión toma su máximo en cualquier círculo centrado en el origen en sus puntos de donde $x=y$; este es un cálculo simple. Por lo tanto, uno puede por tanto asumir que todas las columnas tengan igualdad de normas, que deben ser $\sqrt{\frac1n}$.

Finalmente, argumentan que en determinados casos, el factor determinante para ser máxima, todas las columnas deben ser perpendiculares uno al otro. Si no, entonces uno podría sumar un múltiplo de una columna a otra (que deja el determinante sin cambios) para hacer la norma de los últimos pequeños; esto demuestra una vez más, la solución no es óptima.

Por lo que el máximo factor determinante se obtiene mutuamente ortogonales columnas de todos los de la norma-el cuadrado de $\frac1n$, y el factor determinante para que el caso es $n^{-n/2}$; concretamente $2^{-1}=\frac12$$n=2$$3^{-3/2}=\frac{\sqrt3}9$$n=3$. Este valor puede ser obtenido por una matriz diagonal.

Answer 3

Dado cualquier $n \times n$ matriz $A =(a_{ij})$, podemos ver sus columnas como una colección de $n$ vectores $$\vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_n \in \mathbb{R}^n \quad\text{ con }\quad \vec{v}_j = (a_{1j}, a_{2j}, \ldots, a_{nj})\quad\text{ para } j = 1,\ldots$n$

La condición $$\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}^2 \quad\text{ es equivalente a }\quad\sum_{j=1}^n |\vec{v}_j|^2 = 1.$$

El valor absoluto de a $\det(A)$ no es nada, pero el volumen de la hiper-paralelepípedo útil de la $n$ vectores $\vec{v}_j$. La fijación de las magnitudes de las $\vec{v}_j$, sabemos que este volumen se maximiza cuando y sólo cuando la $\vec{v}_j$ son ortogonales uno al otro. yo.e cuando el $\vec{v}_j$ de intervalo de un hiper-cuboide.

En ese caso, también sabemos $$|\det(A)| = \prod_{j=1}^n|\vec{v}_j| = \sqrt{\prod_{j=1}^n|\vec{v}_j|^2} \underbrace{\le}_{\text{AM } \ge \text{ GM}} \sqrt{\left(\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n |\vec{v}_j|^2\right)^n} = \frac{1}{\sqrt{n}^n} $$ La AM $\ge$ GM de la desigualdad en el medio se convierte en una igualdad cuando y sólo cuando todas las $\vec{v}_j$ tiene la misma norma. yo.e cuando todos los $\displaystyle\;|\vec{v}_j| = \frac{1}{\sqrt{n}}\;$. El implicaciones son:

1. El valor máximo de $|\det(A)|$ sujeto a la restricción de la es $\displaystyle\;\frac{1}{\sqrt{n}^n}\;$ como lo que usted sabe.
2. Para aquellos matriz $A$ que lograr el máximo valor de la determinante, el $n$ vectores $\displaystyle\;\sqrt{n}\,\vec{v}_1, \ldots \sqrt{n}\,\vec{v}_n\;$ son ortonormales. En otras palabras, $\sqrt{n} A \in O(n)$ $n$- dim ortogonal de la matriz!

Conclusión

Usted ha encontrado el valor correcto de la máxima determinante, pero no para describir la conjunto de matrices que conseguir este máximo determinante.

Answer 4

Consideremos el caso 1. Sí tienes razón, no puede ser mayor que $1/2$. Pero creo que han demostrado que en examinar. De todos modos, intente probar con esto. ab $$ + cd\le \frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2+d^2). $$

Answer 5

Para una correcta prueba, le falta el hecho de que los términos que participan en el cálculo con signo negativo puede ser negativo también. Para el 2D caso, lo que queremos es esencialmente para maximizar $ab-cd$ bajo la restricción $a^2+b^2+c^2+d^2 = 1$ (si es menos de un sólo multply todas las variables por un factor). Yo no sé si usted sabe acerca de la optimización bajo restricciones y el multiplicador de lagrange, que sería el método aquí. Voy a asumir que usted no tiene esto y tratar de encontrar un más elementales de la solución:

Vamos a tener $c,d$ constante al principio, luego estamos maximizando $ab$ bajo $a^2+b^2=1-c^2+d^2 = const$. Pero ya $$0 \leq(a-b)^2 = a^2+b^2 -2ab = const - 2ab,$$ we know that $ab$ is maximal for $a=b$, since equality holds only there. In the same way, keep $a,b$ constant to maximize $-cd$. Here $$0\leq (c+d)^2 = c^2+d^2+2cd = const + 2 cd$$ which in the same way results in $c=-d$. Now we end up with maximize $^2+c^2$ under $2a^2+2c^2 = 1$, which trivially has the value $1/2$, although your solution is not the only one, since for example $a=b=c=d=1/2$ funciona igual de bien.

El 3d caso parece complicado de hacer en este camino, pero tal vez, se puede resolver con un poco de álgebra lineal: Tenemos

$$\sum_{i,j=1}^3 a_ij^2 = trace(A^T A)$$

que es la suma de los autovalores de a $A^TA$, mientras que maximizar el producto de los autovalores $\det (A^T A) = \det(A)^2$ (no importa si nos maximizar $\det(A)$ o $\det(A)^2$). Así que maximizar $\lambda_1\lambda_2\lambda_3$ bajo $ \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3 = 1$. Por similares argumentos como el anterior nos encontramos con que $\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=1/3$ es la solución. Tan sólo necesitamos una coincidencia de $A$ tal que $A^TA$ tiene los autovalores, que de hecho es el caso para su solución. Esto funciona en cualquier dimensión.