Integral de la función sinc multiplicada por Gauss

Question

Me pregunto si la siguiente integral

$\int_{-\infty}^{\infty} \exp( - a x^2 ) sin( bx ) / x$

existe en forma cerrada. Me gustaría usarlo para numérica cálculo y encontrar una manera eficaz de evaluar. Si analítica formulario no existe, realmente lo aprecio cualquier medio alternativo para la evaluación de la integral. Sería un método numérico de cuadratura, incluyendo La cuadratura de gauss, pero puede ser ineficaz cuando los parámetros a y b son muy diferentes en la escala.

gracias de antemano

Answer 1

Asumimos $a,b>0$. Entonces $$ \begin{eqnarray} \int_{-\infty}^\infty dx\, e^{-a x^2}\frac{\sin b x}{x} &=& \int0^b d\beta \, \int{-\infty}^\infty dx\, e^{-a x^2} \cos \beta x \ &=& \int0^b d\beta \, \mathrm{Re} \int{-\infty}^\infty dx\, e^{-a x^2+i \beta x} \ &=& \int_0^b d\beta \, \mathrm{Re}\, \sqrt{\frac{\pi}{a}} e^{-{\beta}^2/(4a)} \ &=& \pi \, \mathrm{erf}\left(\frac{b}{2\sqrt{a}}\right). \end{eqnarray } $$ este enfoque puede ser generalizado a $x_0\ne0$.

Answer 2

Podemos considerar el tipo general de integral, medio

$$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a(x-x_{0})^{2}}\frac{\sin(bx)}{x}dx$$

Caso 1. Si $b=0$, la función idénticamente 0, por lo que la integral converge y es igual a 0.

Observación. La función es una función impar de $b$ (consideramos a $b$ como una variable), por lo que solo podemos considerar los casos de $b>0$ en el siguiente.

Caso 2. Si $a<0$, la integral divergentes y no existe.

Caso 3. Si $a>0$, se puede calcular de la siguiente manera:

$$\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-a(x-x_{0})^{2}}\frac{\sin(bx)}{x}dx &=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a(x-x_{0})^{2}}(\int_{0}^{b}\cos(xy)dy)dx\\ &=\int_{0}^{b}(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a(x-x_{0})^{2}}\cos(xy)dx)dy \end{align*}$$

$$\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-a(x-x_{0})^{2}}\cos(xy)dx &=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^{2}}\cos((x+x_{0})y)dx\\ &=\cos(x_{0}y)\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^{2}}\cos(xy)dx -\sin(x_{0}y)\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^{2}}\sin(xy)dx\\ &=\cos(x_{0}y)\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^{2}}\cos(xy)dx \end{align*}$$

Denotamos $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^{2}}\cos(xy)dx$$F(y)$, luego

$$\begin{align*} F^{\prime}(y)&=-\int_{-\infty}^{\infty}xe^{-ax^{2}}\sin(xy)dx =\frac{1}{2a}\int_{-\infty}^{\infty}\sin(xy)de^{-ax^{2}}\\ &=-\frac{y}{2a}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^{2}}\cos(xy)dx =-\frac{y}{2a}F(y) \end{align*}$$

Por cálculo, se puede obtener que $F(0)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^{2}}dx =2\int_{0}^{\infty}e^{-ax^{2}}dx =\frac{1}{\sqrt{a}}\Gamma(\frac{1}{2}) =\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{a}}$.

Luego de resolver la ecuación diferencial ordinaria con valor inicial, podemos obtener:

$$F(y)=F(0)e^{-\frac{y^{2}}{4a}}=\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{a}}e^{-\frac{y^{2}}{4a}}$$

Así

$$\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-a(x-x_{0})^{2}}\frac{\sin(bx)}{x}dx &=\int_{0}^{b}\cos(x_{0}y)F(y)dy\\ &=\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{a}}\int_{0}^{b}e^{-\frac{y^{2}}{4a}}\cos(x_{0}y)dy\\ &=\sqrt{\pi}\int_{0}^{\frac{b}{\sqrt{a}}}e^{-\frac{t^{2}}{4}}\cos(\sqrt{a}x_{0}t)dt \end{align*}$$

Caso 4. Si $a=0$, entonces la integral se convierte en $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin(bx)}{x}dx$, por el criterio de singular integral, sabemos que la integral converge.

En particular,

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin(bx)}{x}dx =\lim_{un\rightarrow0^{+}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a(x-x_{0})^{2}}\frac{\sin(bx)}{x}dx$$

Set $a\rightarrow0^{+}$ en el caso 3, se puede obtener que $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin(bx)}{x}dx =\sqrt{\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-\frac{t^{2}}{4}}dt =\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{1}{2})=\pi$$

Answer 3

Muchas gracias por tus comentarios, y la siguiente resultado se obtuvo incluyendo el caso de $x_0 \ne 0$: $$ \int_{-\infty}^{\infty} dx \exp[-a(x-x_0)^2] \frac{ \sin(bx) }{ x } = \pi \exp(-x_0^2) \mathrm{Re}\left(\mathrm{fer}\left[\frac{b+2iax_0}{2\sqrt{a}}\right]\right) $$ donde $a\gt0, b, x_0$ se asume que todos los reales. (nota: los coeficientes etc todavía puede estar mal...)

Esta integral aparece en un tipo de estructura electrónica de cálculo basado en una cuadrícula de representación (sinc función). Creo el resultado anterior debe ser sin duda muy útil.

Gracias!! --jaian