¿Por qué estos valores de Collatz aparentemente explotan y luego implosionan?

Question

A través de cachondeo con algunos *Collatz valores y trayectorias, me llegó a través de los valores que parecían aumentar rápidamente y, a continuación, 'más rápido' caer de nuevo a uno, como una explosión. (Todos ellos tienen menos de 150 pasos para llegar a uno).

Aquí están los números que me pareció interesante:

511

valor de pico en la trayectoria: 39364

lleva 61 pasos para llegar a 1

1023

valor de pico en la trayectoria: 118096

toma 62 pasos para llegar a 1

32767

valor de pico en la trayectoria: 28697812

toma 129 pasos para llegar a 1

65535

valor de pico en la trayectoria: 86093440

toma 130 pasos para llegar a 1

Es este un fenómeno bien conocido? ¿Por qué los valores parecen bruscamente caer de vuelta a los valores más pequeños?

Como un buen bono poco, el primer y segundo par de parada de veces parecen estrechamente relacionados, por alguna razón...

*"Collatz" se refiere a la Conjetura de Collatz. Para un rápido repaso:

Si un entero $n$ es impar, luego se multiplica por 3 y se añade 1. Si $n$ es incluso, dividir por 2. Repita el proceso. La Conjetura de Collatz estados cada positivos número de partida, finalmente, llega a 1.

Answer 1

La propiedad es de largo conocido¹⁾. Por fórmula con algunos $A$ e impares $k$ $$a_1 = 2^A k -1 \to a_j = 3^A k -1$$ (con algunos $j$ dependiendo de su definición de lo que es "un paso")
La clave aquí es que el valor de $-1$ es un punto fijo en los números enteros negativos para la Collatz de transformación.
Si por otra parte $k=1$, a continuación, los números de la forma $3^A - 1$ tiene el primefactor $2$ a algunos fácilmente para determinar el exponente: $$ \{3^A-1 ,2 \} = 1+ [A:2] + \{A,2\}$$ donde las llaves significa "valoración" (aquí el exponente de la primefactor $2$) y $[A:2]$ es un "Iverson-soporte", dando a $1$ si $2 | A$ $0$ más.
Después de eso, $a_j = 3^{16} - 1 $ es seguido por muchos $x/2$ pasos (en este caso $6$ pasos): $$ \{3^{16}-1,2\} = 1 + [16:2] + \{16,2\} = 1+1+4 = 6 \\ a_j = 3^{16}-1 \a_{j+6}={ 3^{16}-1 \más de 2^6 }$$

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Usted podría estar interesado en mirar el parcial órbitas de los números de los formularios $2^A k -5$,$2^A k -7$, $2^A k+1$ con algunas restricciones en los exponentes $A$ ...

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¹⁾ Por ejemplo, he visto en una de 1978-el artículo de R. Crandall. Pero eso es sólo el más antiguo artículo original he encontrado en línea - sin duda que la propiedad es tan básico que era conocido incluso antes.