Justificar una teoría con un ejemplo aparentemente sin relación

Question

Aquí es un tema en la vena de Describir un tema en una oración y Fundamental ejemplos : imagine que está tratando de explicar y justificar una teoría matemática T a un escéptico matemático que piensa que T es sólo una especie de resumen de tonterías por su propio bien. La solución ideal consiste en de un problema P que puede ser enunciada y entenderse sin saber nada acerca de T, pero que es difícil (o imposible, incluso mejor) para resolver sin T, y más fácil (o casi-trivial, incluso mejor) para resolver con la ayuda de T. Lo que debe evitarse es un ejemplo donde T es "superpuesto", por ejemplo, cuando T es un modelo para algún fenómeno físico, porque siempre hay algo arbitrario sobre la elección de un modelo específico.

Un ejemplo clásico es la teoría de Galois para resolver ecuaciones polinómicas.

Cualquiera de los ejemplos de álgebra homológica ? Para el análisis de Fourier ? Para la categoría de la teoría ?

Answer 1

La teoría espectral de álgebras de Banach conmutativas condujo a una prueba elegante, debido a Gelfand, del siguiente teorema (previamente difícil) de Wiener: si $f$ es una función valorada compleja ninguna fuga en el círculo unitario cuyos coeficientes de Fourier son absolutamente adicionable, entonces los coeficientes de Fourier de $1/f$ son también absolutamente adicionable.

Answer 2

Análisis complejo y la teoría de espacios de funciones analíticas en subconjuntos abiertos de $\mathbb{C}$ se utilizan para demostrar el teorema de mapeo de Riemann, que tiene la agradable consecuencia topológica que hay una clase única de Homeomorfismo de subconjuntos abiertos simplemente conectados (no vacíos) de $\mathbb{C}$.

Answer 3

[Frente a una pizarra, en una oficina en el Real Colegio]

Escéptico: ¿Y por qué debería preocuparme por holomorphic funciones?

Holomorphic entusiasta:$\;$ se Puede calcular $\quad$ $\sum_{n={-\infty}}^{\infty} \frac{1}{(a+n)^2}$ ? Aquí $a$ es uno de sus queridas de los números reales, pero no es un entero.

Escéptico: Bien, hm...

Holomorphic entusiasta, con indiferencia: Oh, usted acaba de conseguir

$$\sum_{n={-\infty}}^{\infty} \frac{1}{(a+n)^2}=\pi^2 cosec^2 \pi a $$

Es fácil de usar residuos.

Escéptico: Bueno, tal vez debería echar un vistazo a estos "residuos".

Holomorphic entusiasta (generosamente): déjame que te preste la presente introducción al Análisis Complejo por Remmert, por Lang y este viejito por Titchmarsh. Como Hadamard dijo: "Le plus court chemin entre deux vérités dans le domaine réel passe par le domaine complexe".Usted puede buscar una traducción en Mathoverflow. Tienen una buena lista de matemática citas, a raíz de una pregunta.

Escéptico: Mathoverflow ??

Holomorphic entusiasta (buscando un poco deprimido) : yo creo que debemos tener un buen tiempo caminando juntos ahora. [Exeunt]

Answer 4

Se puede utilizar la maquinaria del grupo fundamental y de la cobertura de espacios para demostrar fácilmente que cualquier subgrupo de un grupo libre debe ser libre.

Answer 5

Si eres un combinatorialist y quieres saber el asymptotics de una secuencia $a_n$ con una buena generación de función $A(z) = \sum_{n \ge 0} a_n z^n$, la primera cosa que usted debe hacer es averiguar si $A$ es meromorphic, desde luego, uno puede analizar la asymptotics de $a_n$ el uso de sus polos. Incluso si $A$ no meromorphic, si uno tiene la suficiente información acerca de sus singularidades, a continuación, hay transferencia de teoremas que traduce la información sobre el comportamiento de los $A$ cerca de sus polos para el comportamiento de $a_n$ grandes $n$. En otras palabras, combinatorialists (y, por extensión, científicos de la computación) deberían aprender de análisis complejo.

Por ejemplo, supongamos $E_n$ el número de alternancia de las permutaciones en $n$ letras. A continuación, $E(z) = \sum_{n \ge 0} E_n z^n = \sec z + \tan z$ es meromorphic con polos $z = \frac{\pi}{2} + 2k \pi, k \in \mathbb{Z}$. La dominante de la singularidad es en $z = \frac{\pi}{2}$ y ahora se sabe, sin hacer otros cálculos en los que se $E_n \sim n! \left( \frac{2}{\pi} \right)^n$. Incluso mejor que uno puede escribir una serie exacta convergentes a $E_n$ con un plazo para cada polo. La correspondiente ampliación de los números de Bernoulli $B_n$ da la clásica evaluación de la función zeta en números enteros.