Como Ross Millikan puntos, la elección de la medida es importante. Sin embargo, existe una medida de probabilidad en $\omega_1$ que actúa igual que la intuición mediante el conteo de medida.
Vamos a un conjunto de ser "pequeño" si es contable. Obviamente $\omega_1$ no es pequeño, y contables de los sindicatos de los pequeños conjuntos son pequeños. Dejamos que estos conjuntos tienen probabilidad cero, y la complementa (co-contable de conjuntos) tiene probabilidad uno. Os dejo como ejercicio para mostrar que este es un countably aditivo $\{0,1\}$-medida en $\omega_1$.
Hay un número significativo de nonmeasurable establece en esta medida, sin embargo, y este será el origen de la paradoja, que es esencialmente un fracaso de la del teorema de Fubini.
Deje $\alpha,\beta$ ser los dardos lanzados por los jugadores de uno y dos respectivamente. Si fijamos $\alpha$, la probabilidad condicional de a$P(\beta>\alpha|\alpha)=\mu([\alpha+1,\omega_1))$$1$. Así
$$\int\int{\bf 1}_{\beta>\alpha}\,d\beta\,d\alpha=\int1\,d\alpha=1.$$
Al mismo tiempo, podemos arreglar $\beta$ y considerar el conjunto de $\alpha$ que hacen que el jugador dos ganar. Este es el set $[0,\beta)$ que tiene medida cero, entonces:
$$\int\int{\bf 1}_{\beta>\alpha}\,d\alpha\,d\beta=\int0\,d\beta=0.$$
El problema es que $\{(\alpha,\beta)\in\omega_1^2\mid\alpha<\beta\}$ es un nonmeasurable subconjunto de $\omega_1\times\omega_1$, por lo que no existe una opción de probabilidad, que puede ser dado para el evento.
Si se nos da una medida distinta en $\omega_1$ que $\{(\alpha,\beta)\in\omega_1^2\mid\alpha<\beta\}$ es medible, entonces el teorema de Fubini se aplica, por lo que la probabilidad de que el jugador gana es igual a la probabilidad de que el jugador dos ganadores (y ambos son $1/2$ si $\{(\alpha,\alpha)\mid \alpha\in\omega_1\}$ tiene medida cero).
