¿Cuál es el teorema del binomio aplicado a la cuenta de números enteros?

Question

Tengo una tarea problema que estoy atascado, pero me siento como si pudiera obtener ayuda sobre este componente (no todo el problema) yo podría hacer progresos. También, voy a notar de manera preventiva que he intentado buscar por esto, pero realmente no pude encontrar nada, así que si este es un duplicado pido disculpas de antemano.

El problema pregunta: Evaluar $\sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{n-k} (-b)^k$ $a \geq b > 0$ mediante el uso de una involución. Para guardar una búsqueda, una involución es una función de $I$ $X$ tal que $I \circ I = id_X$.

Mi pregunta es, ¿qué $\sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{n-k} b^k$ recuento? Es decir, ¿qué hace el teorema del binomio contar cuando se evaluó para enteros positivos $a,b$? Mi intuición es que si entendí esto yo podría ser capaz de definir una involución que puedo usar.

Vale la pena señalar que la respuesta es fácil si usted acaba de aplicar el teorema del binomio con $x = a, y = -b$, pero el uso de una involución es el componente clave del problema.

Answer 1

$$ (a+b)^4 = a^4+4a^3 b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4 $$ Los coeficientes $1,4,6,4,1$ conteo de combinaciones, y en fin a ver, voy a hacer el cuatro $a$s y cuatro $b$s en $(a+b)^4$ distinguibles el uno del otro, la escritura $(a+b)^4$$(a_1+b_1)(a_2+b_2)(a_3+b_3)(a_4+b_4)$.

\begin{align} {} \\ & (a_1+b_1)(a_2+b_2)(a_3+b_3)(a_4+b_4) \\[10pt] = {} & \underbrace{a_1a_2a_3a_4}_{\text{1 term, equal to %#%#%}} + \underbrace{a_1a_2a_3b_4 + a_1a_2b_3a_4 + a_1b_2a_3a_4+b_1a_2a_3a_4}_{\text{4 terms, each equal to %#%#%}} \\[6pt] {} + {} & \overbrace{a_1a_2b_3b_4 + a_1b_2a_3b_4+b_1a_2a_3b_4 + a_1b_2b_3a_4+b_1a_2b_3a_4 + b_1b_2a_3a_4}^{\text{6 terms, each equal to %#%#%}} + \cdots\cdots \\ {} \end{align}

Por lo que el $a^4$ término cuenta las seis formas de elegir los dos índices de entre $a^3b$. Los dos índices se $a^2b^2$s y las otras son de $\dbinom 4 2 = 6$s, o se puede ver de otra manera, los elegidos se $1,2,3,4$s y los otros $b$s. Y lo mismo para $a$ para otros valores de $a$$b$.