Un metrisable compacto espacio no isométrica a cualquier subconjunto compacto de $\mathbb{R}^{n}$

Question

Estoy buscando el metrisable compacto $M$, de modo que no hay isometría $f:M \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ con $im(f) = K$ $-$ compacto subespacio.

En primer lugar, isometría conserva completura, divisibilidad, boundness. A continuación, vamos a ver cómo hacer los subespacios compactos de $\mathbb{R}^{n}$ aspecto. En primer lugar, se completa (esto funciona no sólo en el caso de $\mathbb{R}^{n}$, pero en el caso de metrisable espacio), entonces ellos están delimitadas (Heine-Borel los estados que en conjunto compacto es acotado y cerrado). Por otra parte, cualquier espacio compacto en el espacio métrico separable.

Por lo tanto, parece razonable encontrar un espacio métrico compacto, pero no acotada. Pero, desde un espacio métrico es compacto si es cerrado y totalmente acotado (lo que implica boundness), entonces es imposible.

Así, el enfoque básico no ayuda mucho. Cómo construir este tipo de espacio o para demostrar que no existe?

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Un ejemplo de una métrica espacio que no isométricamente incrustar en cualquier $\mathbb{R}^n$ es el círculo con la ruta de métrica. (Uno puede simplificar esta más a un $4$-punto de espacio formado por $4$ puntos equidistantes en el círculo). La razón es que en $\mathbb{R}^n$, los promedios son únicos.

Un metrizable espacio no tiene una métrica todavía, así que no tiene sentido hablar de su isométrica de la incrustación. Uno puede interpretar la propiedad deseada como "no hay isométrica integración en $\mathbb{R}^n$ para cualquier métrica en el espacio que induce a su topología". Pero esto es equivalente a decir "no hay topológica de la integración en $\mathbb{R}^n$ [es decir, homeomorphism en su imagen]", así que de nuevo "isometría" es un arenque rojo.

Un compacto metrizable espacio finito de topológica de dimensión incrusta en algunos $\mathbb{R}^n$ (la de Menger-Nöbeling teorema). Así que un ejemplo tiene que ser infinito-dimensional en el sentido topológico, lo que conduce a el cubo de Hilbert, mencionado por Brian M. Scott en un comentario. Supongamos que $f:C\to\mathbb{R}^n$ es topológico, la incrustación de el cubo de Hilbert $C$. El cubo contiene un homeomórficos imagen de $\mathbb{R}^{n+1}$, y por lo tanto contiene una cantidad no numerable de distintos homeomórficos imágenes de $\mathbb{R}^n$. Cada uno de estos debe ser asignada a un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$, debido a la invariancia del dominio. Pero no puede ser una cantidad no numerable de abiertos disjuntos subconjuntos de a $\mathbb{R}^n$, ya que cada uno contiene un punto racional de coordenadas.