PDEs elípticos en espacio de Banach

Question

Los libros de texto estándar de discutir soluciones débiles y regularidades en espacios de Hilbert $W^{k,2}.$ no he podido encontrar una buena referencia sobre la teoría basada en espacios de Banach $W^{k,p}.$ sería bueno señalar algunas referencias a mí.

Mi motivación es el estudio de los siguientes problemas $$ \nabla\cdot (\nabla u) = \delta(x), \mbox{ en }\Omega\subconjunto\mathbb{R}^d, $$ con homogéneo condición de frontera de Dirichlet. Puesto que el $\delta$ no es una función en $H^{-1},$ uno de los enfoques para pasar a buscar a $u$ en $W_0^{1,p}$ ($1<p<2$ tal que $p'=(1-p^{-1})^{-1}$ satisface $1-dp'^{-1}>0$), en cuyo caso $\delta$ es en el espacio dual $(W_0^{1,p})'$ isométrica a $W_0^{1,p'}.$ Esto es sugerido por la this paper.

Ahora la pregunta es ¿tenemos la regularidad lejos de $\mathbf{x}=0$? Sí, depende de la suavidad de $a$ (que supone, por supuesto, salió huyendo de 0). Encontré a nice lecture notes lidiando con algunos problemas en espacios de Banach. Pero no sé

• Podemos mejorar la regularidad $W^{1,p}$ $\mathbf{x}=0,$ para delimitada $a$?
• Si $a$ es Lipschitz continua, ¿qué más podemos tener?

Answer 1

$\bullet$ Para un delimitada $\Omega\subset\mathbb{R}^d$$\partial\Omega\in C^1$, el doble de espacio de $(W_0^{1,p})'$ será isométrica a $W_0^{1,p'}$ si $a\in C(\overline{\Omega})$ $L_p$- teoría que es más bien trivial, ya que un operador elíptico $L={\rm div}(a\nabla\cdot)$ $a\in C(\overline{\Omega})$ en este contexto es equivalente a la de Laplace. Al $a$ no es continua, el $L_p$-la teoría se vuelve más bien trivial, mientras que la isometría generalmente no fuera cierto barrio de $p=2$. Para más detalles, ver "Elípticos y Parabólicos Ecuaciones con Discontinuo Coeficientes" por A. Maugeri, D. K. Palagachev, L. G. Softova y las referencias allí contenidas. Por ejemplo, en el caso más simple de $d=2$ cada angular del punto de discontinuidad de la línea de $a$ podría ser un punto singular de la solución con el HR en $C_0^{\infty}(\Omega)$, así como cada punto de intersección de $\partial\Omega$, con una línea suave de la discontinuidad de la $a$.

$\bullet$ Para un dominio acotado $\Omega\subset\mathbb{R}^d$ $\partial\Omega\in C^1$ si $a$ es de Lipschitz, la respuesta coincide con la de la Lalpacian en caso de $\Omega=\mathbb{R}^d$, es decir, la solución de $u\in W^{s,p}$ donde $0<s-1<1-\frac{d}{p'}$ que es fácilmente establecida usando el estándar de la PDE $L_p$-teoría de las técnicas. El problema con estas técnicas es que todavía en gran parte se mantiene dentro de Matemática Folclore, es decir, que ya son ampliamente conocidas, pero todavía no se encuentran en los libros de texto.