El siguiente teorema que se ha mencionado (y parcialmente probado) en el libro de las Funciones de Variación Acotada y Libre de Problemas de Discontinuidad por Luigi Ambrosio et. al.
Deje $\mu,\nu$ medidas positivas en $(X,\mathcal{E})$. Asume que son iguales en una colección de conjuntos de $\mathcal{G}$ que es cerrado bajo intersecciones finitas. Asimismo, se asume que hay conjuntos de $X_h \in \mathcal{G}$ tal que $\displaystyle{X= \bigcup_{h=1}^\infty X_h}$ y $\mu(X_h) = \nu(X_h) < \infty$ todos los $h$. A continuación, $\mu, \nu$ son iguales en el $\sigma$-álgebra generada por $\mathcal{G}$.
Los autores demostrar el teorema para el caso en que $\mu,\nu$ son positivas finito medidas y $\mu(X) = \nu(X)$ y decir que el caso general sigue fácilmente. Sin embargo, esto no es del todo recto hacia adelante para mí. He tratado de probar este pero no pueden llegar a una prueba válida. Aquí está mi intento de prueba:
Deje $G_h = \{g \cap X_h | g \in G\}$. Entonces es claro que a partir de el uso de el caso finito del teorema, tenemos que $\mu,\nu$ coinciden en todos los $\sigma (G_h)$. Mi el problema ahora es mostrar que esto implica que los que están de acuerdo $\sigma(G)$. Todos mis los intentos en este sentido han sido en vano.
Creo que la solución debería ser relativamente fácil (como los mismos autores señalan). Cualquier ayuda en la prueba es muy apreciado.
Gracias, Phanindra
