Posible cardinalidad de los conjuntos de potencia

Question

¿Qué cardenales no pueden darse de forma demostrable como cardinalidad de un conjunto de potencias? Sé que $\mathbb N$ y los números naturales que no son potencias de dos son tales cardinales. ¿Qué más hay?

Answer 1

El teorema de Konig dice que $$\kappa < cf(2^{\kappa})$$ Por lo tanto, si $cf(\lambda)=\omega$ como por ejemplo $\aleph_{\omega}$ entonces $\lambda$ no es un conjunto de potencia.

Answer 2

Dejemos que $S$ sea un conjunto infinito de cardinales y sea $x=\cup_{y\in S}2^y.$ Entonces $x$ es un cardinal de límite fuerte: Es decir, $\forall z<x\;(2^z<x).$ Así que $x$ no puede ser un cardenal de poder.