Encontrar el conjunto de puntos donde las dos funciones son iguales

Question

Dada la función: $$f(M, \vec{p}, d) = \sum_{i=1}^m log(\frac{\mathbb{I}(|\vec{M}_i - \vec{p}|_2<d)}{|\vec{M}_i - \vec{p}|_2})$$ Donde $M \in \mathbb{R}^{m \times n}$ es una matriz, $\vec{p} \in \mathbb{R}^{n}$ es un vector que describe un punto, $d \in \mathbb{R}$ es un mínimo de la distancia escalar, y $|\vec{M}_i - \vec{p}|_2$ es la distancia euclidiana entre dos puntos. También al $\mathbb{I}(|\vec{M}_i - \vec{p}|_2<d)$ es cierto se devuelve 1, de lo contrario su cero. Si yo tuviera dos matrices diferentes y enchufado en esta función, ¿cómo puedo encontrar el $n$ dimensiones de los puntos donde las dos funciones son iguales el uno al otro?

Como simple ejemplo veamos las matrices $A$$B$: $$A = \begin{bmatrix} 0.3 & 0.3 \\ 0.3 & 0.4 \\ 0.4 & 0.3 \\ \end{bmatrix} B = \begin{bmatrix} 0.6 & 0.6 \\ 0.6 & 0.7 \\ 0.7 & 0.6 \\ \end{bmatrix} $$ Y la distancia mínima es de: $$ d=0.3 $$

¿Cómo se podría ir sobre la búsqueda de el conjunto de puntos donde $f(A, p) = f(B, p)$? Yo sé que a ustedes les daría igual el uno al otro como: $$\sum_{i=1}^3 log(\frac{\mathbb{I}(|\vec{A}_i - \vec{p}|_2<0.3)}{|\vec{A}_i - \vec{p}|_2}) = \sum_{i=1}^3 log(\frac{\mathbb{I}(|\vec{B}_i - \vec{p}|_2<0.3)}{|\vec{B}_i - \vec{p}|_2})$$ Pero no sé cómo resolver esto. También ten en cuenta que necesito este trabajo para los ejemplos con los puntos de mayor dimensionalidad ($n > 0$), y cuando el tamaño de la $m$ dimensión de las dos matrices son iguales.

Para ayudarle a entender el problema más claramente he creado una ayuda visual: Un gráfico que describe la intersección de las dos funciones, donde la línea roja indica donde las dos funciones sería igual.

Si necesita más información no dudes en preguntarme.

Answer 1

Usando las propiedades de la $\log$, podemos reescribir la ecuación como $$|A_1-p|^2\cdot |A_2-p|^2\cdot |A_3 -p|^2=|B_1-p|^2\cdot |B_2-p|^2\cdot |B_3 -p|^2.$$ Si escribimos todos los puntos en sus coordenadas y deje $p=(x,y)$, esta ecuación se convierte en una ecuación de la forma $F(x,y)=0$ donde $F(x,y)$ es un dos-variable en función del grado 5. Para general $A,B$, el conjunto de soluciones de $F(x,y)=0$ podría ser complicado.

En este caso, los puntos en $A$ son los vértices de un triángulo rectángulo y los puntos en $B$ son obtenidas mediante la traducción de los puntos en $A$ por el vector $(0.3, 0.3)$. La simetría a través de la línea de $y=x$ sugiere que una solución de $p$ que pueden existir en la línea de $y=x$. Dejando $x=y$ en la ecuación obtenemos un grado 5 polinomio. Resulta que tiene una única raíz en torno a $x_0 \approx 0.48$. Todas las demás soluciones de la forma de una curva que pasa a través de $(x_0,x_0)$ y la curva es simétrica con respecto a $y=x$.