Caracterización de la métrica de Minkowski

Question

Supongamos que un colector de homeomórficos a $\mathbb R^4$, y ha demostrado que está equipado con un televisor de métrica de la firma $(n-1,1)$. Hasta qué punto puedo concluir que mi espacio es el espacio de Minkowski?

Mi intuición me dice que no existe algo así como un cambio lineal de coordenadas para que mi métrica es, literalmente, diag$(-1,1,1,1)$. Si este es el caso, ¿cómo formalizar esta? No puedo concluir que mi métrica es la métrica de Minkowski, hasta un cambio en la base, ya que sus autovalores no necesitan estar en $\{-1,1\}$.

Esencialmente estoy después de una caracterización del espacio de Minkowski que no requiere de mí para decir "la métrica es diag$(-1,1,1,1)$", debido a que estoy trabajando en una forma más abstracta de configuración y prefiero no calcular nada con coordenadas.

Answer 1

Me temo que su intuición no es correcto en absoluto, hay una gran variedad de planos de Lorenz métricas en $\mathbb R^4$. La principal observación es que el retroceso de un plano métrica a lo largo de un diffeomorphism será plana, demasiado. Por un lado, usted puede tomar cualquier mundiales de diffeomorphism $f:\mathbb R^4\to\mathbb R^4$ y tire hacia atrás de la métrica de Minkowski a lo largo de $f$. El resultado es un completo plano de la métrica en $\mathbb R^4$ (que es a nivel mundial isométrica a Minkowski, pero la isometría es dado por $f$, por lo que no significa un cambio lineal de coordenadas).

Por otro lado, usted puede construir fácilmente ejemplos de información incompleta plana de Lorenz métricas en $\mathbb R^4$. Por ejemplo, el uso de un diffeomorphism de $\mathbb R^4$ a la apertura de la unidad de pelota en $\mathbb R^4$ a tirar para atrás la métrica de Minkowski en la bola de a $\mathbb R^4$. El resultado de la métrica en $\mathbb R^4$ es plana y de forma incompleta por la construcción, por lo que no puede ser globalmente isométrica a $\mathbb R^4$.

La cosa principal que usted puede hacer en su situación está tomando el mapa exponencial desde el espacio de la tangente en un punto a su colector (que se puede identificar con el espacio de Minkowski). Esto va a definir una isometría en una vecindad de cero a un barrio en el punto dado. La isometría se puede globalizado si la métrica se inicia desde que se complete.