El término constante es difícil de construir. Voy a presentar los términos de $O(1/n)$ que incluye la constante. Este problema se preguntó en MSE 2891159, en cuyo caso me respondió uno de los tres; este problema es que el problema de la $\sigma_c(n).$ El problema puede ser configurado exactamente como el anterior problema, mediante la diferenciación con respecto a $s$ el siguiente, y tomando límites cuando sea necesario:
$$ \sum_{k=1}^n k^{s}=\zeta{(s)}-\frac{1}{(s-1)n^{m-1}}+\frac{1}{2n^s}-
\frac{1}{12}\frac{s}{n^{s+1}} +.... $$
Más términos son abandonados porque lo que está presente es suficiente para llegar a $O(1/n)$ términos. La fórmula sigue de Euler-McLaurin de totalización. Como en el otro problema, romper la suma que desea en primitivas que consta de las sumas de $\log{k}/k^m$ o $\log^2{k}/k^m.$ Que es,
$$\sum_{k=1}^n H_k \log{k} = \sum_{k=1}^n \Big(\gamma + \log{k} + \frac{1}{2k} -\frac{1}{12k^2} \Big) \log{k}$$
donde la fórmula asintótica para $H_k = \gamma + \psi(k+1)$ ha sido utilizado y un número suficiente de términos se han tomado, $except$ para aquellos que necesitan para derivar el término constante (volveremos a esto más adelante). Dejando $L=\log{n}$ tenemos las siguientes:
$$ v_0=\sum_{k=1}^n \log^2{k}=n\big(L^2+2(1-L)) + \frac{L^2}{2}+\frac{L}{6n}+\frac{\gamma^2}{2}-\frac{\pi^2}{24}-\frac{1}{2}\log^2{(2\pi)}+\gamma_1$$
$$ \quad v_1=\sum_{k=1}^n \log{k}=n(L-1)+\frac{L}{2}-\zeta'(0)+\frac{1}{12n}$$
$$v_2= \sum_{k=1}^n \frac{\log{k}}{k} =\frac{L^2}{2}+\gamma_1+\frac{L}{2n}$$
$$ v_3=\sum_{k=1}^n \frac{\log{k}}{k^2} =-\zeta'(2)-\frac{L+1}{n}$$
Deje $\tilde{v_k}=(v_k$ con término constante se establece en 0). Entonces
$$\sigma_c(n)=\sum_{k=1}^n H_k \log{k} =\tilde{v_0}+\gamma\, \tilde{v_1} + \frac{1}{2} \tilde{v_2}-\frac{1}{12} \tilde{v_3} + C $$
$$=n\big(L^2+(\gamma-2)(L-1)\big) + \frac{3L^2}{4}+\gamma\frac{L}{2}+\frac{1}{2n}(L+\frac{\gamma+1}{6}) + C $$
donde $C$ es el desconocido término constante. Una manera correcta de determinar C es simplemente por
$$ C=\lim_{n \to \infty} \Big(\sum_{k=1}^n H_k \log{k} - \Big(n\big(L^2+(\gamma-2)(L-1)\big) + \frac{3L^2}{4}+\gamma\frac{L}{2} \Big)\, \Big)$$
Continuar sólo si se siente cómodo con formal de las matemáticas. Ahora que me voy a encontrar $C$ en una manera diferente. Es bien conocido que
$$ \gamma = \lim_{n \to \infty}\Big( \sum_{k=1}^n\frac{1}{k} - \log{n} \Big) =
\int_0^\infty \Big(\frac{1}{e^x-1} - \frac{e^{-x}}{x} \Big)dx.$$ The first expression is similar in spirit to how we defined $C,$ but the second equation is useful in that many digits of $\gamma$ puede ser extraído fácilmente con su favorito de la integración numérica de las rutinas.
En derving $v_0$ a través de $v_3$ me detuve porque esto es suficiente para obtener los términos de $O(1/n).$ Si se iba, no iba a ser un $v_5 = \sum_{k=1}^n \log{k}/k^4= -\zeta'(4) + o(1/n)$, etc. Lo más natural es agregar todos los $-\zeta'(2n)$ términos con los pesos apropiados para obtener una nueva constante que, cuando se añade a la de la $v_k$, constituyen $C.$ Esto fue hecho en MSE 2891159 y muy afortunadamente, la serie convergente. No hubo suerte aquí. Los pesos son de la forma asintótica de la expansión de la serie de los números,
$$H_k = \gamma + \log{k} + \frac{1}{2k}-\sum_{m=1}^\infty \frac{B_{2m}}{2m} k^{-2m} $$ de modo que la constante queremos asignar significado a es
$$ \kappa \,\,\dot{=} \sum_{m=1}^\infty \frac{B_{2m}}{2m} \zeta'(2m) $$
donde el puntillo equivale significa 'representación' en lugar de 'iguales.' La idea es semejante a decir $$\sum_{k=1}^\infty k \,\, \dot{=} -1/12$$, que puede ser dado de rigor en términos de zeta de regularización. Primero diferenciar el bien conocido de Euler-como la integral de la función zeta de encontrar
$$\zeta'(2s) =\frac{1}{\Gamma(2s)} \int_0^\infty \frac{t^{2s-1}}{e^t-1} \Big( \log{t} - \psi(2s) \Big) .$$
Insertar en la definición de $\kappa$ y de intercambio de $\int$ $\sum$
$$ (K) \quad \kappa \,\,\dot{=} \int_0^\infty \frac{dt/t}{e^t-1}\sum_{m=1}^\infty \frac{B_{2m}}{(2m)!} t^{2m} \big( \log{t} - \psi(2m) \big). $$ El interior de la suma converge (su estado de Borel transformado), sólo tenemos que encontrar una expresión que no es una potencia de la serie. Necesitamos algunas fórmulas. Es bien sabido que, y será utilizado en varias ocasiones,
$$\sum_{m=1}^\infty \frac{B_m}{m!} t^m = \frac{t}{e^t-1} -1, \quad \sum_{m=1}^\infty \frac{B_{2m}}{(2m)!} t^{2m}= \frac{t}{e^t-1} -1+t/2 $$
Una integración de la ecuación anterior conduce a
$$\sum_{m=1}^\infty\frac{B_{2m}}{(2m)(2m)!} t^{2m}= -\log\big(\frac{t}{e^t-1}\big) -t/2 $$ Vamos a comenzar en el 'psi' plazo:
$$ \Psi(t):=\sum_{m=1}^\infty \frac{B_{2m}}{(2m)!} t^{2m} \,\psi(2m)=
\sum_{m=1}^\infty \frac{B_{2m}}{(2m)!} t^{2m} \,\big(\psi(2m)+\frac{1}{2m} - \frac{1}{2m} \big)=$$
$$= \sum_{m=1}^\infty \frac{B_{2m}}{(2m)!} t^{2m} \,\psi(2m+1)+\Big(t/2+\log{\big(\frac{t}{e^t-1}\big)} \Big) =$$
$$= \sum_{m=1}^\infty \frac{B_{m}}{m.} t^m \,\psi(m+1)+
\Big( \frac{1}{2}(1-\gamma)t \Big) +
\Big(t/2+\log{\big(\frac{t}{e^t-1}\big)} \Big) .$$
De nuevo el uso de $H_m = \gamma + \psi(m+1)$ encontrar
$$\Psi(t)=\sum_{m=1}^\infty \frac{B_m}{m.} t^m \,H_m -
\gamma\Big(\frac{t}{e^t-1} - 1\)+ \big(1-\frac{\gamma}{2}\big)t + \log{\big(\frac{t}{e^t-1}\big) }$$
El número armónico se usa porque no es la integral de la relación
$$H_m = -m \int_0^1 dx x^{m-1} \log{(1-x)} $$ Insert this, switch $\int$ and $\sum$, sum up the series in closed form, and $finalmente$
$$\Psi(t)=-\int_0^t \frac{\log{(1-u/t)}}{e^u-1}\Big(1-\frac{u\,e^u}{e^u-1}\Big)\,du-
\gamma\Big(\frac{t}{e^t-1} - 1\)+ \big(1-\frac{\gamma}{2}\big)t + \log{\big(\frac{t}{e^t-1}\big) }$$
En eq. $(K)$ la suma antes de la $\log{t}$ es una de las fórmulas conocidas. Por lo tanto, una (doble) relación integral que está perfectamente bien-se comportan de $\kappa$
$$\kappa=\int_0^\infty \frac{dt/t}{e^t-1}\Big(\, \log{t}\big(\frac{t}{e^t-1}-1+t/2\big) - \Psi(t)\Big) = -0.077596...$$
Cuando el uso de $\kappa$ la respuesta puede ser establecido como
$$ C=\kappa + \frac{\gamma^2}{2}-\frac{\pi^2}{24}+\frac{1}{2}\gamma \, \log(2\pi) - \frac{1}{2} \log^2{(2\pi)} + \frac{3}{2} \gamma_1 $$
Seis dígitos de acuerdo a los que se obtienen mediante la fórmula asintótica y la comparación con la fuerza bruta suma de $n=$ 20.
