¿Es el conjunto de todos $C^\infty$ funciones con soporte compacto ideal en $C(\Bbb{R})$?

Question

Pregunta. Deje $C(\Bbb{R})$ denotar el anillo real de los valores de funciones continuas en $\Bbb{R}$, con pointwise la adición y la multiplicación. Que de la siguiente forma ideal en el anillo?

1. El conjunto de todos los $C^\infty$ funciones de haber compacto de apoyo.
2. $C_c(\Bbb{R})$
3. El conjunto de todas las funciones continuas que desaparecer en el infinito.

Mi Solución.

2. Verdadero.(Sigue desde:$Support(f+g) \subset support(f) \cup support(g)$$Support(fg) \subset support(f)$$support(f):=cl\{x | f(x) \neq 0\}$)

3. Falso. (Tomar, $f(x)=\frac{1}{1+x^2} \in C_0(\Bbb{R})$$r(x)=1+x^2\in C(\Bbb{R})$, $rf$ no pertenece a $C_0(\Bbb{R})$).

Pero no puedo encontrar un contraejemplo en (1) como ya se hizo en (3) ...

Supongamos que yo elija $f(x)=1$ $[-1,1]$ y tome $r(x)=|x|$. A continuación, $rf(x)=|x|$ $rf$ no pertenece a $C_0(\Bbb{R})$. Pero el problema es que si yo defino $f=0$ fuera de $[-1,1]$ no sería suave...

Así que creo que tengo que encontrar otro ejemplo contrario. ¿Puede alguien por favor me ayude a encontrar un contador de ejemplo aquí?

Answer 1

Existe una función de $C^{\infty}$ $f$ tal que $f(x)=1$ % todo $x \in (-1,1)$y $f(x)=0$ $|x| >2$. Construcción de funciones usando $e^{-1/x}$ es estándar. Si multiplicas esto por $|x|$ vas de $C^{\infty}$.