Problema de álgebra lineal simple: demostrar que una matriz es inversible

Question

Estoy preparando para un examen de álgebra lineal y me he topado con un problema que estoy teniendo problemas con por alguna razón:

Dada una matriz cuadrada A, $A^2=2I$, demostrar que $A-I$ es invertible.

Sé que esto es bastante simple pero parece que no puedo jugar con las ecuaciones para obtenerlo que $B$, $B(A-I)=I$ %

Es bastante fácil de ver que $A^{-1}=\frac{1}{2}A$, pero más allá de eso no he podido llegar muy lejos.

¿Puede alguien ayudarme con esto?

Answer 1

De su original restar ecuación $\;I\;$ de ambos lados y usted conseguirá a la vez lo que quieres:

$$A^2=2I\implies A^2-I=2I-I=I\implies (A-I)(A+I)=I\;\;\color{green}\checkmark$$

Answer 2

No es necesario "adivinar y comprobar". Conjunto de $B=A-I$, que $A=B+I$; entonces $$ (B + I) ^ 2 = 2I $$ que $ B ^ 2 + 2B + = 2I $$ o $$ I=B^2+2B=B(B+2I) $$ así $ (A-I) ^ {-1} = B ^ {-1} = B + 2I = A + I $$

Answer 3

Tenga en cuenta el si $A-I$ no es invertible, entonces existe un vector $v$ tal que $(A-I)v=0$ y $Av=v$. Por lo tanto $v$ es un vector propio con el valor propio $1$ pero los valores propios posibles de $A$ $\pm \sqrt 2$. De hecho si $v$ es un vector propio, valor propio $A$ $\lambda$ y $$\lambda ^2v-2v=0$$ $$v(\lambda ^2-2)=0$$ from here $\lambda = $ \pm \sqrt 2

Answer 4

Tenemos $$(A + I)(A - I) = A^2 - I^2 = 2I - I = I.$de % $ % que $(A - I)^{-1} = A + I$.

Answer 5

Supongamos que $A-I$ no es inversible. Es un valor propio de $\lambda = 1$ $A$, pero es un valor propio de $1$ $A^{2}$. Para que $v = A^{2}v = 2v \implies 1 = 2$ una contradicción.