En qué se diferencian matemáticamente el arcoseno y la cosecante si la cosecante es $\frac{1}{\sin(x)}$ y el arcoseno es $\sin^{-1}(x)$ que es $\frac{1}{\sin(x)}$ ? He intentado encontrar una respuesta antes pero nadie lo ha explicado lo suficientemente bien.
Son dos funciones totalmente diferentes con dominios y rangos distintos y definiciones diferentes.
La notación es confusa y los estudiantes tardan en dominar los conceptos.
Obsérvese que la función arcoseno o $\sin ^{-1} x$ como es común escribir es la función inversa bajo composición no bajo multiplicación.
Es decir $$\sin ( \sin ^{-1} x )=x$$ es verdadera en el dominio de $ \sin ^{-1} x$
Mientras que para $\csc x$ la historia es diferente porque es la inversa multiplicativa de $\sin x$ que es $$ ( \csc x)\times (\sin x) =1$$
$\sin^{-1}(x)$ y $\frac{1}{\sin x}$ no son iguales
$\sin^{-1}(x)$ es igual a algún ángulo $\theta $ tal que $\sin \theta =x $
donde $-1\le x \le 1$ y la gama $\in [-\pi /2,\pi /2]$
Este es el gráfico de $\sin^{-1}(x)$
mientras que $\frac{1}{\sin x} $ es simplemente 1 dividido por $\sin x $ $\hspace{20pt}$ aquí $x \in R$ y la gama $\in (-\infty,\infty)$
Este es el gráfico de $\frac{1}{\sin x}$
$\sin^{-1}(x)$ no significa $\frac{1}{\sin(x)}$ . Significa que el función inversa de la $\sin$ (cuando se restringe a un intervalo convencional).
Si tengo alguna función invertible $f$ en algún intervalo, de manera que pueda escribir digamos $y=f(x)$ entonces utilizamos $f^{-1}$ para representar la función inversa; podemos escribir $x=f^{-1}(y)$ . Sin embargo, esto puede causar a veces una confusión con la inversa multiplicativa, que también puede escribirse a veces utilizando un $\cdot^{-1}$ -poder.
Ver https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_function ... (y nótese el enlace "no confundir con" justo debajo del título)
Así que $\arcsin$ es el funcional inverso de $\sin$ mientras que $\operatorname{cosec}(x)$ es la inversa multiplicativa de $\sin(x)$ .
Aquí se discuten las inversiones funcionales de las funciones trigonométricas:
https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions
Los matemáticos suelen ser incoherentes; cuando escriben $\sin^2(x)$ quieren decir $(\sin(x))^2$ (en lugar de decir composición funcional, $\sin(\sin(x))$ ), y de forma similar para otras potencias - incluso $-2$ (!) ... pero pas si ese poder es $-1$ . Es cuestión de acostumbrarse a la convención, y atenerse a $1/\sin(x)$ o $(\sin(x))^{-1}$ cuando quieres hablar de la inversa multiplicativa.
@James Si vas a cambiar eso en mi respuesta, cámbialo en la pregunta (así como la otra vez que lo usé); usé deliberadamente esa forma para ser coherente con la pregunta.
Me parece bien que intentes mejorar la respuesta (así es como se supone que funciona el sistema) pero es mejor ser coherente con ello.
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Creo que la clave que hay que recordar aquí es que la notación es realmente confusa (¡no sólo tú!). Estamos muy contentos de escribir $\sin^2(x)$ para significar $(\sin(x))^2$ y $\sin^3(x)$ para significar $(\sin(x))^3$ pero cuando escribimos $\sin^{-1}(x)$ No nos referimos a $(\sin(x))^{-1}$ ¡!
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@TheoBendit: ¿"Estamos muy contentos"? No, en absoluto. Nunca escribo " $\sin^2(x)$ " para significar " $(\sin(x))^2$ ". No creo que la convención sea una razón suficiente para conservar la notación incoherente. Después de todo, es igual de fácil escribir " $\sin(x)^2$ ", lo que es coherente con la notación de función estándar y la sintaxis aritmética.
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@user21820 Me parece justo. Yo sí veo algunas ventajas de escribir $\sin^2$ ; por ejemplo, cuando se desea hacer referencia a la función $\sin \cdot \sin$ sin tener que especificar una variable. Creo que hay un pequeño bache en la legibilidad cuando se sustituye alguna expresión larga en $\sin^2$ . Personalmente, no me gusta la notación $\sin^{-1}$ no es como $\sin$ tiene un inverso de todos modos. Por eso uso $\arcsin$ en su lugar.
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@TheoBendit: Hmm sí así que en mi opinión la pregunta correcta es si debemos definir $f^p$ para significar el $p$ -ésima iteración de $f$ o el punto $p$ -enésima potencia de $f$ , donde $f$ es una función de un tipo apropiado. Me inclino por la primera, porque ya la usamos mucho para los operadores (como las transformaciones), y porque todavía no he visto un ejemplo en el que la otra sea realmente útil. (Aunque estoy de acuerdo contigo sobre $\arcsin$ y el diminuto aumento de la legibilidad).
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@user21820 También en el entorno del álgebra lineal/análisis funcional, es útil, por ejemplo, referirse a cosas como $\|\sin^2\|_\infty$ en espacios funcionales; diciendo $\sin(x)^2$ introduce una variable que sólo confunde el asunto, especialmente si $x$ no es un número (por ejemplo $C^*$ ¡álgebra cálculo de funciones continuas)! Podría decirse que no es necesario que haya una notación que supere a la otra, siempre que los novatos estén informados de las trampas.
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@TheoBendit: Bueno sí hay compensaciones si uno quiere elegir una. Sigo prefiriendo no tener una notación que no pueda ser desambiguada, y por lo tanto si uno quiere mantener ambas notaciones, uno debe definir/especificar antes de usar. =)
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Relacionado con esto: math.stackexchange.com/questions/30317/arcsin-written-as-sin-1x
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Posible duplicado de ¿Cuál es la diferencia entre arccos(x) y sec(x)