En "Analyse fonctionnelle" de Brezis, en el capítulo III, ¿por qué necesitamos espacios de Banach? (especialmente para el teorema de Kakutani)

Question

En el libro de Brezis: "Analyse fonctionnelle : Théorie et application", capítulo III (es decir, construcción de topología débil, espacios reflexivos de topología débil-*), ¿por qué necesitamos "espacios de Banach"? ¿No son suficientes los espacios normados? El ejemplo particular que tengo en mente es el teorema III.16 (llamado Kakutani) que dice Sea $E$ un espacio de Banach. Entonces $$B_E=\{x\in E\mid \|x\|\leq 1\}$$ es compacto para la topología débil $\sigma (E,E')$ $\iff$ $E$ es reflexivo.

He leído la prueba con atención, y no veo dónde utilizamos el hecho de que $E$ es completa para su norma. Entonces, ¿por qué necesitamos que la suposición sea de Banach? La única razón para mí sería que utilizamos el teorema de Banach-Steinhaus (BST) (y por lo tanto, necesitamos la completitud). Pero en la demostración del teorema de Kakutani no veo en ninguna parte el uso de (BST). Así que tal vez la completitud se utiliza en algún lugar que no veo?

Answer 1

En efecto, la equivalencia sigue siendo válida si $E$ es un espacio normado incompleto (sobre $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ ): ambos lados son falsos. Esto es bastante fácil de ver directamente y realmente pierde el sentido del teorema. Así que los autores probablemente decidieron no molestarse en incluir este caso relativamente poco interesante.

Es bastante común en el análisis funcional escribir teoremas que sólo cubren los espacios de Banach, incluso cuando los espacios normados también podrían ser incluidos. Esto puede ser por cualquiera de varias razones:

• En la mayoría de las aplicaciones, se trabaja con espacios de Banach

• El teorema puede ser trivial para espacios incompletos

• Para un espacio incompleto $X$ el teorema te da la conclusión "correcta" si lo aplicas a la terminación de $X$ .

Answer 2

Considere $\mathbb{R}$ como un espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$ el espacio de los racionales dotado de la norma del valor absoluto, entonces $\mathbb{R}$ en $\mathbb{Q}$ es un espacio vectorial normado de dimensión infinita donde la bola es compacta.