Grupo abeliano producto de un libre y un grupo finito

Question

Necesito ayuda con este problema:

Que $H$ es un Grupo abeliano. Que $T \leq H$ $T' \leq H$ ser subgrupos finitos de H. Que $F \leq H$ $F' \leq H$ ser libres subgrupos de H.

Supongamos que $H = T \times F = T' \times F'$. Mostrar que $T = T'$. ¿Tiene la misma conclusión $F$?

Realmente no sé cómo enfocar el problema. Me siento como debo utilizar el teorema de clasificación de grupos abelianos finitamente generados, pero H no es finitamente generado.

¡Gracias de antemano por cualquier ayuda!

Answer 1

Dado un producto directo de grupos Abelian $G=T_0\times F_0$ $T_0$ ser finito y $F_0$ libre, que el subgrupo de torsión de $G$ $T0\times {0{F0}}$, está como cada elemento$x\neq 0{F_0}F_0$tiene orden infinito. Es cómo puede identificar$T_0$. De hecho, así$T=T'$ en su problema.

En cuanto a la parte libre, no es cierto (ni siquiera para grupos de abelianos finitamente generados). Decir $G= (\mathbb{Z}_2,+)\times (\mathbb{Z},+)$. Después usted puede tener $F= \langle (0,1) \rangle$ y $F'= \langle (1,1) \rangle$.

Answer 2

Sugerencia: Si $t'\in T'$, entonces el $t'\in H = T \times F$, por lo que puede escribir $t' = tf$ % de % que $t\in T$ y $f\in F$. $t'$ Tiene ahora un orden finito (ya que está en un subgrupo finito), y también lo hace en $t$; que $n$ sea múltiplo de ambos esas órdenes. ¿Qué pasa cuando subes a ambos lados de la energía de th $t'=tf$ en el Grupo abeliano $n$ $H$? ¿Qué concluir sobre $f$? Esto debería permitirle demostrar que $T' \subseteq T$, y la inclusión inversa sigue por el mismo argumento.