Buscando una función tipo sigmoide con segmento convexo alrededor del origen

Question

Estoy buscando una función con algunas propiedades específicas (esto es para una simulación probabilística). Debe ser una función que se ejecuta a través de (y es simétrica) el origen y asintóticamente se acerca a $-1$ y $1$ a medida que su parámetro pasa de negativo a positivo. Cualquier función sigmoidea encajaría, pero lo ideal es que tenga una componente convexa alrededor del cero (es decir, quiero que su valor sea más parecido alrededor del cero) y todas las funciones sigmoides que conozco cambian bastante rápido. Ver la imagen adjunta mal dibujada para una ilustración.

Agradecería cualquier indicación. Se prefieren las funciones menos costosas desde el punto de vista informático.

Answer 1

Prueba esto: $$\frac{2}{\pi}\arctan(x^3)$$ La idea es que si tienes una función sigmoidea que es lineal alrededor de $0$ puede obtener el resultado deseado si cambia $x$ en algo que varía más lentamente que $x$ alrededor de $0$ . Si quiere cambiar el ancho, sustituya $x^3$ con $\alpha x^3$ .

Lo mismo ocurriría con $$\frac{2}{1+e^{-x^3}}-1$$