Variedad de pares de matrices producto de cero

Question

Aquí está una vieja pregunta de examen de calificación que me quedé pegado en el. Considerar el % de la variedad $X$de pares de matrices $(A,B)$satisfacción $AB = BA = 0$ (con las entradas en algún campo). ¿Cuáles son los componentes irreductibles de $X$? Según la pregunta, todos tienen dimensión $n^2$.

¿Una pregunta: son los componentes irreductibles suave lejos de sus lugares de intersección con otros componentes?

Answer 1

Hay un papel de Gelfand y Ponomarev '' indescomponible representaciones del grupo de Lorentz'' en la cual tal variedad se estudia sobre un campo de algebraicaly cerrado.

No puedo encontrar todo el texto en línea, estoy seguro que se puede descargar de mathnet.ru pero el sitio no está funcionando hoy en día)

Answer 2

Vamos $$\pi:X \rightarrow \mathrm{Mat}_n$$ be the projection $\pi(a,B)=A$. Stratify $\mathrm{Mat}_n$ by rank, with $V_i$ equal to the set of matrices of rank at most $i$. It is a fact that $V_i$ is irreducible of dimension $n^2-(n-i)^2$ (you can prove this e.g. by thinking about the correspondence consisting of pairs $(A,U)$ with $U \subseteq \mathrm{ker}(A)$ a subspace of dimension $n-i$).

Dado $A \in V_i \setminus V_{i-1}$ una matriz de rango exactamente $i$, se puede elegir una base, por lo que el $A$ es de Jordan en la forma. Deje $J \subseteq \{1,2,\dots,n \}$ el conjunto de los índices de $j$ de manera tal que el $j$ésima columna de a $A$ es cero. Ahora la condición de $AB=0$ es equivalente a cada columna de $B$ está en el núcleo de $A$, o en otras palabras, que el $B$ tiene cero elementos sólo en las filas de la indexado por $J$. Por otro lado, la condición de $BA=0$ es equivalente a las entradas en $i$ de las columnas de a $B$ cero (trabajo por inducción de izquierda a derecha; exactamente qué columnas depende del Jordán estructura). El siguiente ejemplo ilustra la ecuación de $0=BA$ en el caso de $A$ tiene cuatro bloques de Jordan y el núcleo de la dimensión de $2$, distribuido por la quinta y la séptima vectores de la base, puede ayudar a aclarar cómo el argumento de los fondos: $$0=\left( \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ a & b & c & d & e & f & g \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ h & i & j & k & l & m & n \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right). $$

De modo que el espacio de $B$ $AB=0=BA$ es lineal de dimensión $(n-i)^2$. En otras palabras, la fibra de $\pi$ por encima de un punto de $V_i \setminus V_{i-1}$ es un espacio lineal de dimensión $(n-i)^2$.

Hemos descompuesto $X=X_0 \coprod X_1 \coprod \cdots \coprod X_{n-1} \coprod X_n$ donde $X_i$ se compone de pares de $(A,B)$ $A$ de rango exactamente $i$, y cada una de las $X_i$, después de haber irreductible fibras de constante dimensión$(n-i)^2$$V_i \setminus V_{i-1}$, es un irreductible cerrado subvariedad de dimensión $n^2-(n-i)^2+(n-i)^2=n^2$. El resultado se sigue de esto (como lo hace @Boris Datsik la observación acerca de lo que el irreductible componentes).

También parece probable que la $X_i$'s son suaves desde $V_i \setminus V_{i-1}$ es homogénea la variedad para la acción de la $\mathrm{GL}_n$ $X_i$ parece ser un espacio lineal paquete sobre él.