Encontrar la naturaleza de las raíces de la ecuación de $ 6x^4-25x^3+81x^2-9x-13=0$ con Descartes ' regla s de signos

Question

Que $f(x)= 6x^4-25x^3+81x^2-9x-13=0$
Según la regla de Descartes de los signos hay tres cambios de signos en $f(x)$. Por lo tanto, $f(x)=0$ puede tener tres raíces positivas o una raíz positiva y dos raíces imaginarias.
Una vez más, hay tres cambios de signos en $f(-x)$. Así $f(x)=0$ tiene una raíz negativa o tres raíces negativas. Ahora mi pregunta es cómo concluir mi respuesta con la exacta naturaleza de las raíces. Creo que algunos derivados es necesario concluir la respuesta pero no pude averiguar.
Gracias de antemano.

Answer 1

$f(x)=(2x-1)(3x+1)(x^2-4x+13)$

por lo que tiene raíces en $x=\frac{1}{2}, x=\frac{-1}{3}, x=\frac{4\pm\sqrt{16-52}}{2}$

o después de la limpieza

$x=\frac{1}{2}, x=\frac{-1}{3}, x=2\pm3i$

Answer 2

Hay tres cambios de signos en la $f(x)$. Por lo tanto, $f(x)=0$ puede tener tres raíces positivas o uno positivo de la raíz

Correcto.

y dos raíces imaginarias

Esto no se sigue, sin embargo. Por todo lo que sabemos en este momento, $f$ podría tener ya sea (a) tres positivo y uno negativo de la raíz, o (b) uno de los efectos positivos y tres negativos raíces, o (c) uno positivo, uno negativo y dos no-bienes raíces complejas.

De nuevo, Hay tres cambios de signos en la $f(-x)$.

No, No es sólo un cambio de los signos, por lo $f$ tiene exactamente un negativo de la raíz. Esto elimina la posibilidad (b) que las hojas (a) y (c) para decidir.

Una forma de ver que no todas las raíces puede ser real, es un aviso de que, por Vieta las relaciones, la suma de los cuadrados de todas las raíces es $\,(25/6)^2 - 2 \cdot(81/6) \lt 0\,$, mientras que la suma de los cuadrados de real de los números no puede ser negativo. Esto elimina la posibilidad de (a) y hojas (c) uno positivo, uno negativo y dos no-bienes raíces complejas.

Answer 3

Si usted tiene tres raíces positivas, también no puede tener tres raíces negativas, o una raíz negativa y dos imaginario. Lo mismo si se inicia con tres raíces negativas. Por lo tanto se puede concluir que tienes uno positivo, uno negativo y dos raíces complejas.

Nota Como observado por @JasonDeVito, no hay tres cambios de signo en $f(-x)$. Tan sólo podemos concluir que tiene exactamente una raíz negativa.