¿Es positiva esta integral definida?

Question

Tengo una duda y no soy capaz de demostrar (o refutar):

• Deje $f(x)$ ser una función impar con $f(x)>0\,\,\,\forall x\in (0,+\infty)$.
• Deje $g(x)$ ser un no-negativo de la función: $g(x)\geq 0\;\forall x\in \mathbb{R}.$
• También suponga $\displaystyle \int_{-\infty}^0g(x)\,dx<\int_{0}^{\infty}g(x)\,dx.$

Me pregunto si uno puede asegurar que:

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,g(x)\,dx>0.$$

EDIT 1: se Ha demostrado (por Adrian Keister) que mi tesis es falsa.

Ahora me pregunto de nuevo si es posible agregar otra hipótesis acerca de la $g(x)$ a asegurar mi tesis.

EDIT 2:El problema llega desde aquí:

la línea azul es $f(x)= \left(e^{-\frac{\cosh ^2(u-1)}{2 }}-e^{-\frac{\cosh ^2(1+u)}{2 }}\right)$ y la línea naranja es $g(x)=e^{-\frac{u^2}{2 }}\cos ^2\left(\frac{\pi (u-1)}{4 }\right)$ y la función de $f(x)g(x)$ gráfico

Como podemos ver en el gráfico, la integral de la $\int_{\mathbb{R}}f(x)g(x)\,dx$ parece ser positiva.

Podemos traducir el factor de $e^{-u^2/2}$ $g(x)$ $f(x)$(en este caso la tercera hipótesis no se cumple):

Answer 1

Debo decir no. Contraejemplo:\begin{align} f(x)&=\left{ \begin{array}{ll} -1/(10x^2), \; &x\in(-\infty,-1) \ -1, \; &x\in[-1,0) \ 0, \; &x=0 \ 1, \; &x\in(0,1] \ 1/(10x^2), \; &x\in(1,\infty) \end{matriz} \right}, \ g (x) y = \left{\begin{array}{ll} 0,\;&x\in(-\infty,-1)\cup(0,1)\cup(2,\infty) \ 1/2, &x\in[-1,0] \ 1, &x\in[1,2] \; \end{array}\right}. \end{align}

Si reemplazar la condición de $\displaystyle \int{-\infty}^0g(x)\,dx0,$entonces usted tiene los siguientes:\begin{align*} \int{-\infty}^{\infty}f(x)\,g(x)\,dx&= \int{-\infty}^{0}f(x)\,g(x)\,dx+\int{0}^{\infty}f(x)\,g(x)\,dx \ &=-\int{\infty}^0 f(-x)\,g(-x)\,dx+\int{0}^{\infty}f(x)\,g(x)\,dx \ &=\int{0}^{\infty} f(-x)\,g(-x)\,dx+\int{0}^{\infty}f(x)\,g(x)\,dx \ &=-\int{0}^{\infty} f(x)\,g(-x)\,dx+\int{0}^{\infty}f(x)\,g(x)\,dx \ &=\int{0}^{\infty} f(x)\,(-g(-x))\,dx+\int{0}^{\infty}f(x)\,g(x)\,dx. \ \end{align} ahora, si usted tiene $g(-x)<g>0,$ sigue que $-g(-x)>-g(x),$ dónde te\begin{align} \int{-\infty}^{\infty}f(x)\,g(x)\,dx&= \int{0}^{\infty} f(x)\,(-g(-x))\,dx+\int{0}^{\infty}f(x)\,g(x)\,dx \ &>-\int{0}^{\infty} f(x)\,g(x)\,dx+\int_{0}^{\infty}f(x)\,g(x)\,dx \ &=0. \end{align*}</g>

Ver respuesta de tomasz para una condición un poco menos estricta en $g(x)$.

Answer 2

Si para casi todas positivas $x$ $g(x)\geq g(-x)$ y que hay un no-null conjunto de $x$ tal que $g(x)\neq g(-x)$, luego esta integral siempre será positivo.

No hay otras hipótesis sobre la $g$ es suficiente (para todos los $f$). Si $g(x)=g(-x)$ en casi todas partes, entonces la integral es claramente cero. De lo contrario, supongamos $A\subseteq [0,\infty)$ es un conjunto de medida positiva que, por $x\in A$ tenemos $g(x)< g(-x)$. Podemos suponer sin pérdida de generalidad que para todos los $x\in A$ tenemos $g(-x)>g(x)+1/n$ para algún entero positivo $n$.

Ahora, tome $f$ una función impar tal que $f(x)=2n/\lvert A\rvert$ $x\in A$ $f(x)<\left(\int_{-\infty}^\infty \lvert g(t)\rvert\,\mathrm{d}t\right)^{-1}$ positivos $x\notin A$.

A continuación,$\int_{A\cup -A} f(t)g(t)\,\mathrm{d}t<-2$$\left\lvert \int_{(A\cup -A)^c} f(t)g(t)\,\mathrm{d}t\right\rvert\leq 1$.