¿Cuál es la probabilidad de que un número normal se verá periódicamente?

Question

Tomemos, por ejemplo,$\pi$. El u $\pi$ es irracional, por lo tanto el decimal patrón no es periódica. Sin embargo, podría suceder que simplemente observando un enorme, pero finita cantidad de dígitos de $\pi$, sería "mirar periódico"?

No se sabe, pero se cree que $\pi$ es un número normal, es decir, cualquier secuencia de dígitos de longitud $n$ se produce con la densidad de $10^{-n}$. Así que vamos a asumir que esto es cierto, y preguntarse cuál es la probabilidad de que para algunos lo suficientemente grande $n$, $\pi$ parece

$$\pi\approx 3.\underbrace{x_1x_2\cdots x_n}_{\text{first period}}\overbrace{x_1x_2\cdots x_n}^{\text{second period}}\underbrace{\cdots}_{\llap{\text{other}}\,\rlap{\text{digits}}}\;.$$

Por supuesto, esta pregunta no es realmente restringido a $\pi$ o a los dígitos de los números, pero se puede solicitar en el contexto de la normal de secuencias (joriki se señaló en la respuesta que para un específico número de la probabilit siempre es uno o cero).

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Observación. Sé que el periódico general número puede tener la forma $$0.x_1x_2\cdots x_n\overline{y_1y_2\cdots y_m}$$ with an initial non-periodic sequence $x_1x_2\cdots x_n$. Pero ya que en un número normal de cualquier secuencia finita real ocurre, es cierto que cualquier secuencia también repetir una cantidad arbitraria de veces. La pregunta es específicamente sobre si tal período puede empezar con el primer dígito.

Answer 1

Una manera de responder a su pregunta podría ser: "Desde $\pi$ es un número fijo y no una variable aleatoria, la probabilidad es $0$ o $1$; simplemente no sabemos lo que es." Sospecho que esa no es la interpretación que la intención de su pregunta, así que voy a precisar el concepto de "probabilidades", en este contexto, de una manera diferente, mediante la sustitución de $\pi$ por un número cuyos dígitos decimales en forma aleatoria, de manera uniforme y de forma independiente elegido.

A continuación, la probabilidad no es $0$, ya que la probabilidad de que el período de $n=1$ a de trabajo es $\frac1{10}$.

La probabilidad es también no $1$, ya que es acotada arriba por la suma de las probabilidades marginales para todos los $n$:

$$ \sum_{n=1}^\infty10^{-n}=\frac1{10}\cdot\frac1{1-\frac1{10}}=\frac19\;. $$

La determinación de la probabilidad exacto parece difícil, ya que se tiene en cuenta para todos los casos con múltiples períodos. Este código de Java determina la probabilidad de un período a aparecer hasta finito $n$, con los siguientes resultados:

\begin{array}{r|l} 1&0.1\\ 2&0.109\\ 3&0.1099\\ 4&0.1099891\\ 5&0.109998001\\ 6&0.1099988911\\ 7&0.109998980101\\ 8&0.109998989001028\\ 9&0.10999898989102999\\ 10&0.1099989899800301008 \end{array}

Por lo que la probabilidad es, aparentemente, muy cerca de la $0.11$, que es la estimación que se obtiene restando fuera de los casos en los que una secuencia con un período más largo comienza con idénticos dos dígitos:

$$ \frac1{10}+\frac9{10}\sum_{n=2}^\infty10^{-n}=\frac1{10}+\frac9{10}\cdot\frac1{100}\cdot\frac1{1-\frac1{10}}=\frac1{10}+\frac1{100}=0.11\;. $$