Pregunta sobre una prueba de que hay infinitos primos

Question

Hay varias maneras de demostrar este hecho, y no puedo pensar en dos razonablemente claro maneras, pero mi profesor presenta un bosquejo de una prueba de que no puedo seguir. Voy a replicar su lógica lo mejor que puedo.

Teorema. Existen infinitos números primos.

Prueba. Supongamos por contradicción que hay sólo un número finito de números primos, que podemos enumerar como $p_1, p_2, p_3, \ldots, p_m$ algunos $m \in \mathbb{N}$. Entonces, la forma del producto \begin{align*} N = \mathop{\Pi}\limits_{i=1}^m p_i + 1. \end{align*} A partir de aquí hay varias maneras de proceder. Pero, aquí es donde me encuentro se confundan.

Desde $\mathbb{Z}$ es cerrado bajo la multiplicación y la suma, $N \in \mathbb{Z}$, y desde $N > p_i, \forall i$, $N$ no es un número primo. Así, hay algunos $p_i$ tal que $p_i \mid N$, lo $\exists a \in \mathbb{Z}, a \cdot p_i = N$, es decir, $a \cdot p_i = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdots p_m + 1$.

Desde aquí, mi profesor concluyó que $\frac{1}{p_i} \in \mathbb{Z}$, un absurdo, y por lo tanto una contradicción. Yo no puedo averiguar cómo llegar allí. Si dividimos ambos lados por $p_i$, ya que el $1 \leq i \leq m$, obtenemos $a$ sobre el lado izquierdo y los dos términos en el lado derecho, uno de los cuales es un producto de $m - 1$ números primos (después de la cancelación) y uno de los cuales es $\frac{1}{p_i}$. A partir de aquí, tal vez podríamos restar el producto de $m - 1$ términos, claramente un entero por cierre bajo la multiplicación, de $a$, también un número entero. Entonces, por cierre bajo la resta, $a$ menos de este producto es también un número entero, en cuyo caso hemos encontrado nuestro contradicción.

Es esto correcto?

Gracias de antemano.

Answer 1

No estoy de acuerdo con el uso de "división" en cualquier prueba elemental de la teoría de números. El concepto de la división es por lo general sólo formalmente se introdujo mucho más tarde en un curso en el que parece ser en el momento.

Así que, vamos a dejar a $N=\prod\limits_{i=1}^mp_i + 1$ y se determinó que $N>p_i$ todos los $i$ $N$ no es uno de los elementos de nuestra lista de números primos. Ergo, $N$ debe ser de composite (por el teorema demostrado anteriormente, cada número natural es cualquiera de los 0, 1, principal, o compuesto). Es decir, hay algunos productos naturales $j$ $a$ tal que $N=a\cdot p_j$.

Es decir, $a\cdot p_j = p_1\cdot p_2\cdots p_j\cdots p_m + 1$

Ahora, restando y factoring, tenemos $1 = p_j\cdot(a - p_1\cdot p_2\cdots p_{j-1}\cdot p_{j+1}\cdots p_m)$

Nota, sin embargo, que el $(a-p_1\cdots p_m)$ es un número entero y por lo tanto también es $p_j$. Aviso que esto podría implicar que $p_j$ es un divisor de a $1$, pero $1$ no tiene divisores excepto a sí misma. Esta es nuestra contradicción.

Nota, el argumento de arriba totalmente ignorado la necesidad de referirse a la división, a pesar de no hacer uso de divisibility (algo que es perfectamente aceptable para referirse a y el uso de estos a nivel de pruebas).